Demostrar:

Question

La siguiente es una parte de una pregunta que he respondido

Dejó $ f (x) =\begin{cases} \frac{1}{2}, \mid x \mid

1. Encontrar la transformada de Fourier:

$\omega=0: \hat{f}(0)=\frac{1}{4\pi}$

$\omega\neq 0:\hat{f}(\omega) =\frac{\sin(\frac{\omega}{2})}{\omega}$

2. Encontrar la transformada de Fourier de la convolución $fn(x) = *{i=1}^{n}f(x)=f(x)f(x)\cdots*f(x)$

$\omega=0: \hat{f_n}(0)=\frac{2\pi }{(4\pi)^n}$

$\omega\neq 0:\hat{f_n}(\omega) = \frac{\sin^n(\frac{\omega}{2})}{\omega^n}$

Ahora debo demostrar que $\lim{n\to \infty}|*{i=1}^nf(x)|2=0$, saber que$\lim{\omega\to \infty}F(\omega)=0$ ¿cómo debo plantear esto?

Answer 1

Esta respuesta no será la más útil para la OP (disculpas), pero puede ser útil para los demás, así que voy a publicar de todos modos.

Deje $f_n(x) = *_{i=1}^n f(x)$. La transformada de Fourier es una isometría de$L^2$$L^2$. Por lo tanto, si queremos calcular $\lim_{n\rightarrow\infty} \|f_n\|_2$, es suficiente para calcular los $\lim_{n\rightarrow\infty} \|\hat{f_n}\|_2$.

Desde $\hat{f_n}(\omega) = \frac{\sin^n(\omega/2)}{\omega^n}$, queremos calcular $$\lim_{n\rightarrow\infty} \|\hat{f_n}\|_2^2 = \lim_{n\rightarrow\infty} \int_\mathbb{R} |\hat{f_n}(\omega)|^2 \,d\omega$$

El objetivo, entonces, es obligado a $|\hat{f_n}(\omega)|^2$ algunos $g(\omega) \in L^1(\mathbb{R})$.

Ya tenemos para todos $x \in \mathbb{R}$, $|\sin(x)| \leq |x|$, tomamos nota de que $|\hat{f_n}(\omega)|^2 \leq \left|\frac{(\omega/2)^{2n}}{\omega^{2n}}\right| \leq 1$.

Ahora, también tenemos la enlazado $|\hat{f_n}(\omega)|^2 \leq \frac{1}{\omega^{2n}} \leq \frac{1}{\omega^2}$.

La aplicación de ambos de estos límites, podemos ver que si nos vamos a $$g(\omega) = \begin{cases} 1 & \omega \in [-1,1] \\ \frac{1}{\omega^2} & \omega \notin [-1,1]\end{cases}$$ then $g \en L^1$ and $|\sombrero{f_n}(\omega)|^2 \leq g(\omega)$ for all $\omega \in \mathbb{R}$. A continuación, aplicar el teorema de convergencia dominada para encontrar que

$$\lim_{n\rightarrow\infty} \|f_n\|_2^2 = \lim_{n\rightarrow\infty} \|\hat{f_n}\|_2^2 = \lim_{n\rightarrow\infty} \int_\mathbb{R} |\hat{f_n}(\omega)|^2 \,d\omega = \int_\mathbb{R} \lim_{n\rightarrow\infty} |\hat{f_n}(\omega)|^2 \,d\omega = 0$$