Probar: $3(a^4+b^4+c^4)+48\ge 8(a^2b+b^2c+c^2a)$

Question

Deje $a, b, c$ - los números reales. Demostrar que $3(a^4+b^4+c^4)+48\ge8(a^2b+b^2c+c^2a)$

Answer 1

Considere la siguiente desigualdad obtenida por AM-GM de la desigualdad: $$2a^4+b^4+16=a^4+a^4+b^4+16\geq 4\sqrt[4]{16a^8^4}=8ba^2$$ Escribir similares a las desigualdades para el resto de los pares, se obtiene: $$2b^4+c^4+16\geq 8cb^2\\ 2c^4+a^4+16\geq 8ac^2$$ Es suficiente para resumir todas estas desigualdades y obtener la deseada desigualdad.