Para probar el $f(x)= x^3$ % todo $x\in \mathbb{R}$

Question

<blockquote> <p>Que $f:[0,1] \to \mathbb{R}$ ser una función continua tal que $f(x) \geq x^3$ $x \in [0,1]$. También $$\int_{0}^{1} f(x) \mathrm dx= \frac14$$ Prove that $ f (x) = x^3$ for all $x\in [0,1] $</p> </blockquote> <p>Estoy completamente perdido aquí. Cualquier sugerencia será apreciada.</p>

Answer 1

Considerar el $g(x) = f(x) - x^3$. La condición se traduce en $\displaystyle \int_{0}^{1} g(x)dx = 0$, $g(x) \ge 0$ y $g$ es continua. El nuevo problema es antiguo y ha sido publicada dos veces aquí. Asumir $g(x_0) > 0$ $x0$, entonces usted puede encontrar un pequeño intervalo de $(c,d) \subset (0,1)$, que $g(x) > 0, \forall x \in (c,d)$ y contradicción llega desde $\displaystyle \int{0}^1 g(x)dx > \displaystyle \int_{c}^d g(x)dx > 0$.

Answer 2

Es trivial demostrar que $$\int_0^1x^3dx=\frac14$$Now, since $f (x) \geq x^3$ on the domain, we can define $$\int_0^1 f(x)dx = \frac14+\int_0^1 f(x)-x^3 dx$$Now, suppose that $\exists x\in[0,1]$ such that $f(x) > x^3$. Then, by continuity, $\exists\epsilon > 0$ such that $\forall y\in(x-\epsilon,x+\epsilon)$, $f(y) > y ^ 3 $. Let $d $ be the average difference between $f (y) $ and $y ^ 3$ over this neighborhood. Hence, $$\int_0^1f(x)-x^3dx = \int0^{x-\epsilon}f(x)-x^3dx + 2\epsilon\cdot d + \int{x+\epsilon}^1f(x)-x^3dx\geq2\epsilon\cdot d>0$$This is a contradiction. Hence, $f (x) = x ^ 3$

Answer 3

Continua $f,g,$ si $f(x) > g(x)$ % todos $x\in [a,b]$y $\int_a^b f(x) > \int_a^b g(x).$ pensar sobre el Riemann suma definición de la integral en cuanto a por qué este sería el caso.

Dadas $f(x) \ge g(x)$ y $\int_a^b f(x) = \int_a^b g(x)$ (que poco segundo todavía tiene que demostrar) entonces debe ser el caso que $f(x) = g(x)$ % todo $x$en el intervalo $[a,b].$