Series geométricas matriciales

Question

Para las series geométricas escalares, sabemos $$ \sum_{k=0}^{\infty} x^k = \dfrac{1}{1-x} \text{ and } \sum_{k=0}^{\infty} kx^{k-1} = \dfrac{1}{(1-x)^2}\,.$$

¿La segunda se extiende a las matrices cuadradas? Sabemos que para $A$ siendo un $n \times n$ matriz cuadrada y $\|A\| < 1$ , $\sum_{k=0}^{\infty} A^k = (I-A)^{-1}$ . ¿Se cumple lo siguiente?

$$\sum_{k=0}^{\infty} k A^{k-1} = (I-A)^{-2} $$

Answer 1

Una pista. \begin{align} (I-A)^{-2} =& \big[(I-A)^{-1}\big]^2 \\ =& \big[\sum_{k=0}^{\infty} A^k\big]^2 \\ =& \big[A^0+A^1+A^2+\ldots +A^{k_0-1}+A^{k_0}+\sum_{k=k_0+1}^{\infty} A^k\big]^2 \\ \end{align}

Answer 2

Sabemos que $$\sum_{k=0}^n x^k = \frac{x^{n+1} - 1}{x-1}$$

por lo que al diferenciarlo se obtiene $$\sum_{k=1}^{n} kx^{k-1} = \frac{nx^{n+1} - (n+1)x^n+1}{(x-1)^2}$$

o $$(x-1)^2\left(\sum_{k=1}^{n} kx^{k-1}\right) = nx^{n+1} - (n+1)x^n+1$$

El mapa de evaluación $\mathbb{C}[x] \to M_n(\mathbb{C}) : p \mapsto p(A)$ es un homomorfismo de álgebra por lo que obtenemos

$$(A-I)^2\left(\sum_{k=1}^{n} kA^{k-1}\right) = nA^{n+1} - (n+1)A^n+I$$

La serie $\sum_{k=1}^{\infty} kx^{k-1}$ converge para $|x| < 1$ por lo que si $\|A\| < 1$ la serie $$\sum_{k=1}^{n} k\|A^{k-1}\| = \sum_{k=1}^{n} k\|A\|^{k-1}$$ también converge, y por lo tanto $\sum_{k=1}^{\infty} kA^{k-1}$ existe. Por otro lado $$\|nA^{n+1} - (n+1)A^n\| \le n\|A\|^{n+1} + (n+1)\|A\|^n \xrightarrow{n\to\infty} 0$$ Por lo tanto, dejar que $n\to\infty$ en la relación anterior da

$$(A-I)^2\left(\sum_{k=1}^{\infty} kA^{k-1}\right) = I$$

así que $(A-I)^{-2} = \sum_{k=1}^{\infty} kA^{k-1}$ .