Probabilidad de ganar las elecciones si los resultados no son igualmente probables

Question

Acabo de empezar a aprender probabilidad, así que mi nivel no es muy alto. Estoy haciendo un problema de deberes y mi respuesta es diferente a la del libro. No entiendo por qué. Veo que la respuesta del libro tiene sentido, pero también veo que mi procedimiento tiene sentido. ¿Podría alguien indicarme qué estoy haciendo mal?

Problema:

Cuatro candidatos, A, B, C y D, se presentan a unas elecciones. A tiene el doble de probabilidades de salir elegido que B. B y C tienen las mismas probabilidades. C tiene el doble de probabilidades que D. ¿Cuál es la probabilidad de que gane C?

Mi respuesta:

El espacio muestral es $\{A,B,C,D\}$ . Dado que todos los eventos son mutuamente excluyentes, $S = A\cup B\cup C\cup D$ . Así que.., $P(S) = P(A)+P(B)+P(C)+P(D)$ . Desde $P(S) = 1$ , $P(A)+P(B)+P(C)+P(D) = 1$ . Puesto que A es dos veces más probable que B, $P(A) =2\times P(B)$ . Dado que B y C son igualmente probables, $P(B)=P(C)$ . Así, $P(A) = 2\times P(C)$ . Dado que C es dos veces más probable que D, $P(C) = 2\times P(D)$ . Por lo tanto, la probabilidad del espacio muestral en términos de C es: $1 = 6P(C)$ . Así que.., $P(C) = \frac{1}{6}$ .

La respuesta del libro:

Sea $p = P(D)$ . Dado que C es dos veces más probable que D, $P(C) = 2p$ . Dado que B y C son igualmente probables, $P(B) = 2x$ . Puesto que A es dos veces más probable que B, $P(A)= 4p$ . Desde $P(S) = 1$ , $p + 2p + 2p + 4p = 1$ . Así que.., $p = \frac{1}{9}$ y $P(C) = \frac{2}{9}$ .

Gracias.

Answer 1

Ha descubierto correctamente que $\Pr(A) = 2\Pr(C)$ , $\Pr(B) = \Pr(C)$ y que $\Pr(C) = 2\Pr(D)$ . Dado que estos eventos son mutuamente excluyentes y exhaustivos, $$\Pr(A) + \Pr(B) + \Pr(C) + \Pr(D) = 1$$ Sustituyendo $2\Pr(C)$ para $\Pr(A)$ , $\Pr(C)$ para $\Pr(B)$ y $\frac{1}{2}\Pr(C)$ para $\Pr(D)$ da \begin{align*} 2\Pr(C) + \Pr(C) + \Pr(C) + \frac{1}{2}\Pr(C) & = 1\\ 4\Pr(C) + 2\Pr(C) + 2\Pr(C) + \Pr(C) & = 2\\ 9\Pr(C) & = 2\\ \Pr(C) & = \frac{2}{9} \end{align*} Sospecho que has hecho una sustitución incorrecta de $\Pr(D)$ . Si escribió $2\Pr(C)$ para $\Pr(D)$ habría obtenido la respuesta incorrecta $\Pr(C) = 1/6$ .

Answer 2

Usted tiene correctamente $P(B)=P(C)$ y $P(A)=2P(C)$ pero accidentalmente has utilizado mal $P(C)=2P(D)$ lo que equivale a $P(D)=\frac12P(C)$

Si lo hace correctamente, tendrá $$2P(C)+P(C)+P(C)+\frac12P(C)=1$$ que, dado que $2+1+1+\frac12 = \frac92$ , conduciría a $$\frac92P(C)=1$$ y así $$P(C)=\frac29$$

Answer 3

Las probabilidades están en la proporción de $2,1,1\ \text{and}\ 0.5$ y debe sumar $1$ . $$P(A) = \frac{2}{2+1+1+0.5} = \frac{4}{9}$$

$$P(C) = \frac{1}{4.5} = \frac{2}{9}$$