¿Es la cardinalidad de $\mathcal{C}[0,1]$ igual a la cardinalidad de $\mathbb{R}$?

Question

¿Es la cardinalidad de $\mathcal{C}[0,1]$ igual a la cardinalidad de $\mathbb{R}$?

Mi intento: sé que $[0,1] ,(0,1) $ son innumerables como $\mathbb{R}$ también son innumerables así $[0,1]$ tienen la misma cardinalidad como $\mathbb{R}$

confusión de im $\mathcal{C}[0,1]$ $\mathcal{C}[0,1]$ Dónde está el espacio de la función de valor real continuas en el intervalo $[0,1]$

Cualquier solución de sugerencias

Answer 1

Cada función continua en $[0,1]$ está determinado por sus valores en el conjunto contable $\Bbb Q\cap[0,1]$. Por lo tanto $$ | C [0,1] | \le | \Bbb R | ^ {\aleph_0} = (2 ^ {\aleph_0}) ^ {\aleph_0} = 2 ^ {\aleph_0\times\aleph_0} = 2 ^ {\aleph_0} = | \Bbb R. $$