¿Cuántos homomorfismos de $\frac{\mathbb{Z}[x,y]}{(x^3+y^2-1)}$ a $\frac{\mathbb{Z}}{(7)}$ ?

Question

¿Cuántos homomorfismos de $\displaystyle\frac{\mathbb{Z}[x,y]}{(x^3+y^2-1)}$ a $\displaystyle\frac{\mathbb{Z}}{(7)}$ ?

Ya he comprobado que $x^3+y^2-1$ tiene estas cinco raíces enteras: $(-2,3),(-2,-3),(0,1),(0,-1)$ y $(1,0)$ por lo que no es un polinomio irreducible en $\mathbb{Z}$ .

El anillo $\displaystyle \frac{\mathbb{Z}}{(7)}$ es lo mismo que $\displaystyle\frac{\mathbb{Z}}{7\mathbb{Z}}$ ¿cierto? Desde $7$ generará $7\mathbb{Z}$ , por lo que este anillo $\displaystyle \frac{\mathbb{Z}}{(7)}$ es un anillo finito de $7$ elementos. Pero entonces, ¿cómo puedo encontrar el número de homomorfismos? También estoy fallando en el análisis del orden de los elementos que generarán el anillo de dominio.

Gracias.

Answer 1

Los homomorfismos de $\Bbb Z[x,y]/(f(x,y))$ a $\Bbb Z/p\Bbb Z$ son los homomorfismos de $\Bbb Z[x,y]$ a $\Bbb Z/p\Bbb Z$ que envían a $f(x,y)$ a cero. Los homomorfismos de $\Bbb Z[x,y]$ a $\Bbb Z/p\Bbb Z$ son los mapas $$\phi_{a,b}:h(x,y)\mapsto h(a,b)$$ donde $a$ , $b\in\Bbb Z/p\Bbb Z$ . Así que $\phi_{a,b}$ mata a $f(x,y)$ si $f(a,b)=0$ . Por tanto, el número de homomorfismos de $\Bbb Z[x,y]/(f(x,y))$ a $\Bbb Z/p\Bbb Z$ es el número de soluciones de $f(a,b)=0$ en $\Bbb Z/p\Bbb Z$ .

En tu ejemplo, estás contando el número de soluciones de $x^3+y^2-1=0$ modulo $7$ así que contando puntos en una curva elíptica.