Q ejercicio 4, álgebras de Hecke - Daniel Bump

Question

Yo estoy luchando con el ejercicio 4 en el tope de la Stanford Hecke Álgebra notas vinculadas aquí

Estados de los siguientes:

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Deje $G$ ser un grupo finito y $V,W$ espacios vectoriales. Deje $C(G,V)$ el valor de los espacios de mapas de$G$$V$, que tiene la $G$-representación $\rho_{V}$ dada por

$$ (\rho_{V}(g)f)(x) = f(xg) $$

Supongamos que $T$ es lineal en el mapa de $C(G,V)$ $C(G,W)$que conmuta con el $G$-acción, yo.e que

$$ T(\rho_{V}(g)f) = \rho_{W}(g)T(f) $$

Demostrar que no existe un mapa de $\lambda : G \rightarrow \operatorname{Hom}(V,W)$ tal que $T(f) = \lambda * f$ donde $*$ denota la convolución.

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Las notas también tiene un lema (Lema 4) probar el resultado anterior, en el caso de que $V$ $W$ 1-dimensional, y mi esperanza era que se podía adaptar la prueba a hacer frente a este ejercicio, pero hasta ahora no me dejó perplejo.

En el caso lineal $\operatorname{Hom}(V,W)$ hace $\mathbb{C}$, por lo que el espacio de los mapas de $f : G \mapsto \mathbb{C}$ es unital convolución de álgebra i.e el grupo de álgebra $\mathbb{C}[G]$), con la unidad dada por la función característica del elemento de identidad de $G$, $\delta$ decir.

A continuación, $\delta *f = f * \delta$ todos los $f \in \mathbb{C}[G]$, y así, en particular si ese $\lambda$ existía, a continuación,$\lambda = \lambda * \delta = T(\delta)$, y luego se verifica que $T(\delta)$ satisface los requisitos.

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Agradecería alguna ayuda \ asesoramiento sobre la manera de abordar este ejercicio. Lema 4 sugeriría que se desee para tratar de encontrar un elemento de $C(G,V)$, $\tau$ decir, que $F * \tau = F$ por cada $F : G \rightarrow \operatorname{Hom}(V,W)$, y luego continuar como en el Lema 4. Pero yo hasta ahora han sido incapaces de construir una $\tau$ (si existe).

Answer 1

Que $v\in V$. Definir $\delta1^v:G\rightarrow V:x\mapsto (\delta{1,x}|G|)v$. Aquí $1\in G$ denota el neutro \delta_{1,x}=\begin{cases}1 & \mbox{ if } x=1,\ 0 & \mbox{ else.}\end{cases}$$ elemento y $$

En primer lugar pretendemos que $(\lambda\delta_1^v)(x)=\lambda(x)(v)$. De hecho, nos encontramos con que\begin{eqnarray} (\lambda\delta1^v)(x)&=&\frac{1}{|G|}\sum{g\in G}\lambda(g)\left(\delta_1^v(g^{-1}x)\right)\ &=& \frac{1}{|G|}\lambda(x)\left(|G|v\right)\ &=& \lambda(x)(v). \end{eqnarray}

Asumir que existe un $\lambda$ tal que $\lambdaf=T(f)$ % todos $f$. Entonces $T(\delta_1^v)(x)=(\lambda\delta_1^v)(x)=\lambda(x)(v)$ % todo $v\in V$y % todos $x\in G$. Esto determina totalmente $\lambda$. Queda por mostrar que $\lambda$ definida de esta manera realmente funciona.

Que $f\in C(G,V)$, entonces $$f=\frac{1}{|G|}\sum_{g\in G} \rho_V(g^{-1})\delta1^{f(g)}.$ $ de hecho, nos encontramos con que\begin{eqnarray} \frac{1}{|G|}\sum{g\in G} \rho_V(g^{-1})\delta1^{f(g)}(x) &=& \frac{1}{|G|}\sum{g\in G} \delta_1^{f(g)}(xg^{-1})\ &=& \frac{1}{|G|}\delta_1^{f(x)}(xx^{-1})\ &=& \frac{1}{|G|}|G|f(x)\ &=& f(x). \end{eqnarray}

¿Lo puede tomar desde aquí?

Answer 2

Tras la respuesta parcial / pista de Matemático 42 (que sigue siendo el aceptado la respuesta), pensé que me iba a llenar los vacíos de la izquierda. Voy a usar la misma notación.

$\textbf{Claim:}$ El mapa:

\begin{align*} & \lambda : &&G \rightarrow \ \operatorname{Hom}(V,W) \\ & \phantom{} &&x \ \mapsto \ (\ v \mapsto T(\delta_{1}^{v})(x) \ ) \end{align*}

está bien definido, y $T(f) = \lambda * f$ todos los $f \in C(G,V)$

$\textbf{Proof:}$ Que $\lambda(x)$ es un elemento de $\operatorname{Hom}(V,W)$ por cada $x \in G$ se deduce del hecho de que $T$ es lineal en el mapa, y que $$ \delta_{1}^{v + au} = \delta_{1}^{v} + \delta_{1}^{u} \ \ \text{para cada uno de los} \ v,u \V, \in \mathbb{F} $$ Donde $\mathbb{F}$ denota el campo de tierra de $V,W$.

A continuación, ya que

$$ f(x) = \frac{1}{\left| G \right|} \sum_{g \in G} \rho_{V}(g^{-1})\delta_{1}^{f(g)}(x) $$

de ello se sigue que

\begin{align*} T(f)(x) & = \frac{1}{\left| G \right|} \sum_{g \in G} T\left(\rho_{V}(g^{-1})\delta_{1}^{f(g)}\right)(x) \\ & = \frac{1}{\left| G \right|} \sum_{g \in G} \rho_{W}(g^{-1})T(\delta_{1}^{f(g)})(x) \\ & = \frac{1}{\left| G \right|} \sum_{g \in G} \rho_{W}(g^{-1})\lambda(x)f(g) \\ & = \frac{1}{\left| G \right|} \sum_{g \in G} \lambda(xg^{-1})f(g) \\ & = (\lambda * f)(x) \end{align*}

Esto concluye la prueba, y, de hecho, ya que (como se muestra por el Matemático 42) el requisito de que $\lambda * f = T(f)$ por cada $f$, hemos demostrado que, de hecho, nuestra $\lambda$ está determinada únicamente por el mapa de $T$.