Probando que cualquier polinomio de grado impar debe tener al menos una raíz real

Question

Este es mi intento:

Supongamos que $p(x)=a_0 + a_1x + a_2 x^2 + \ldots + a_n x^n$ donde $n$ es impar, $a_i$ son constantes con $a_n \ne 0$ . Supongamos que $a_n > 0$ . Luego $$p(x)=a_0 + a_1x + a_2 x^2 + \ldots + a_n x^n = x^n \left ( \frac {a_0}{x^n} + \ldots + a_n \right )$$

Ahora como $x \to - \infty$ , $x^n \to - \infty$ y $\left ( \frac {a_0}{x^n} + \ldots + a_n \right ) \to a_n > 0$ y así $p(x) \to - \infty$ . Y de manera similar a $x \to + \infty$ , $p(x) \to + \infty$ . Por definición de $\lim_ {x \to \pm \infty } p(x) = \pm \infty$ para cualquier $M>0$ hay puntos $x_1$ y $x_2$ de tal manera que $p(x_1) < -M < 0 < M < p(x_2)$ y por lo tanto del teorema del valor intermedio, hay un punto c entre $x_1$ y $x_2$ con $p(c)=0$

Si $a_n <0$ podemos hacer lo mismo que arriba.

¿Mi prueba es correcta? Y me preguntaba cómo escribiría mi prueba en un solo caso, ya que la TIV se aplica en dos casos muy similares ( $a_n > 0$ y $a_n <0$ ). Las indirectas serían suficientes.

Answer 1

Está bien, pero no es necesario, en mi opinión: Supongo que estás familiarizado con el hecho de que si $p(x)\in\mathbb{R}[x]$ entonces $p(z)=0\iff p(\overline{z})=0$ y que las multiplicidades de $z,\overline{z}$ son los mismos. Dado que $p(x)$ tiene exactamente tantas raíces (contando las multiplicaciones) como su grado, la imparidad de $\deg p(x)$ implica que debe haber una raíz $w$ tal que $w=\overline{w}$ . Efectivamente: si no, si $z_1,\overline{z_1},\dots, z_n,\overline{z_n}$ fueran sus raíces, sería $\deg p(x)= 2(M(z_1)+\dots+M(z_n))$ un número par.