Resumen de la pregunta:
Doblemente infinita de números decimales son "números", cuyo decimal expansiones permitido extender infinitamente tanto a la izquierda y a la derecha del punto decimal, por ejemplo
$$\ldots8906253.141592\ldots$$
con algunas identificaciones entre decimales que son equivalentes en un sentido (ver más abajo). Se pueden agregar y resta sin dificultad mediante la realización de la aritmética, pero uno tiene problemas de multiplicación con el algoritmo habitual. Es allí cualquier manera de definir la multiplicación de estos números en una forma consistente?
Aquí hay una posible construcción formal de doblemente infinito de decimales. Deje $D_n$ el conjunto formal de la serie de Laurent
$$\sum_{k=-\infty}^{\infty} a_k x^k$$
con coeficientes en $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$. La variable $x$ es para ser considerado como el número de $n$ sí. Los elementos de $D_n$ puede ser representado en una manera análoga a los números decimales en la base-n, donde nos permiten ahora dígitos para extender infinitamente a la izquierda del punto decimal. Este set contiene, entre otros, el decimal representaciones reales y n-ádico números (no los números en sí mismos, porque no podemos imponer una estructura métrica ni una noción de convergencia en $D_n$, estamos tratando a los decimales puramente formalmente).
Dados dos elementos en $D_n$, podemos definir la suma de los mismos, por extensión, de la norma la realización de algoritmo (tenga en cuenta que esto es diferente del término por término, además de la formal de la serie de Laurent). La suma puede ser demostrado ser (hasta las equivalencias de abajo) asociativa, conmutativa, y con una identidad (...00.00...). Ahora podemos definir la equivalencia de la relación de $a \sim b$ fib $a = b+h$ donde $h$ tiene una representación decimal de la forma
$$...(abc...d)(abc...d).(abc...d)(abc...d)...$$
es decir, una infinita repetición de decimales en ambas direcciones. La motivación es que esos números tienen la propiedad de que la misma estancia, si movemos el punto decimal de un número determinado de veces a la derecha, es decir, si eran adecuados base-n números que satisfagan $n^m h = h$ algunos $m$, por lo que puede ser considerado como alternativa representaciones de cero. También identificamos los decimales de la forma $...001.000... \sim ...000.999...$ (9 representa el último dígito en base-n), ya que se comportan de la misma manera con respecto a la adición. El conjunto de doblemente infinita de números decimales es el cociente conjunto
$$\mathbb{D}_n = D_n/\sim$$
Ahora podemos definir inversos aditivos por
$$- b = 0 - b = (\ldots999.999\ldots) - b$$
gracias a la equivalencia relación anterior, en analogía a un complemento de la aritmética. Con esto, $\mathbb{D}_n$ se convierte en un grupo abelian con respecto a la adición.
¿Qué acerca de la multiplicación? Mi intuición me dice que no es posible, debido a la adición de números decimales se comporta de forma local con respecto a las secuencias de dígitos (localizada perturbaciones en el dígito de las secuencias de los sumandos corresponden a perturbaciones localizadas en el resultado; comparar los decimales expansiones de $e+\pi$$(10+e)+\pi$), por lo que si queremos realizar la suma dígito por dígito uno puede ver claramente a qué número es "convergente", a la vez que la multiplicación de decimales tiene efectos globales que echan a perder el dígito de convergencia (compare $e\times\pi$ con $(10+e)\times\pi$). Esto está probablemente relacionado a cómo es imposible multiplicar formal de la serie de Laurent, a menos que sólo permiten un número finito de términos de la negativa de grado. Pero no sé si este argumento se descarta la existencia de la multiplicación por completo, o simplemente la posibilidad de realizar de manera constructiva por la costumbre de los algoritmos.
Idealmente, uno quisiera que la multiplicación de los doblemente infinita de decimales para reducir a la habitual del producto real y n-ádico números al $\mathbb{D}_n$ está restringido a $\mathbb{R}$ $\mathbb{Q}_n$ respectivamente, y comparten las propiedades de conmutatividad, asociatividad, distributividad respecto de la suma y la existencia de una identidad. Cómo puedo probar si existe o no?
