$a^n+ b^n$ no es un número primo cuando $n$ no es un poder de $2$.

Question

Supongamos que $a, b$ $n$ son enteros positivos, $a+b>2$, y $n$ no es un poder de $2$. Demostrar que $a^n+ b^n$ no es un número primo.

Answer 1

Usted no puede "asumir $n$ a ser extraño", pero se puede decir que tiene un factor impar $> 1$.

Answer 2

No puede asumir es curioso, pero se puede asumir que contiene un factor extraño.

Considerar el $n=2^k\cdot x$ $x$ Dónde está extraño.

$$a^n+b^n=a^{2^k\cdot x}+b^{2^k\cdot x}=(a^{2^k}+b^{2^k})(a^{2^k\cdot(x-1)}-a^{2^k\cdot(x-2)}b^{2^k}+...-b^{2^k\cdot(x-2)}a^{2^k}+b^{2^k\cdot(x-1)})$$

Puesto que ambos soportes son mayores de $1$, $a^n+b^n$ es compuesto.