Estoy considerando el polinomio $$ p_c(x)=x^{c+1}-x^c-1. $$ Su raíz más grande, denotada por $\lambda_c$ está contenido en el intervalo abierto $(1,1+\frac{\ln c}{c})$ .
Realización del ansatz $\lambda_c=1+x_c$ para una secuencia cero $(x_c)$ Quiero expresar más explícitamente lo que sucede con $\lambda_c$ como $c\to\infty$ .
Poniendo el ansatz en el polinomio, obtengo $$ (1+x_c)^cx_c=1 $$ lo que da como resultado, al aplicar el logaritmo $$ c\ln(1+x_c)+\ln(x_c)=0. $$ Utilizando la aproximación $\ln(1+x_c)=x_c+f(x_c)$ con $f(x_c)=O(x_c^2)$ como $c\to\infty$ Esto da como resultado $$ cx_c+cf(x_c)+\ln(x_c)=0. $$ Exponenciando y multiplicando con el factor $c$ produce $$ cx_ce^{cx_c}=ce^{-cf(x_c)} $$ y utilizando la función W de Lamberts, se obtiene $$ x_c=c^{-1}W(ce^{-cf(x_c)}). $$ Utilizando la aproximación del argumento grande $$ W(x)=\ln x-\ln(\ln(x))+o(1)\text{ as }x\to\infty, $$ me da $$ x_c=\frac{\ln c}{c}-f(x_c)-\frac{\ln(\ln c)}{c}-\frac{\ln(1-\frac{cf(x_c)}{\ln c})}{c}+o\left(\frac{1}{c}\right)\text{ as }c\to\infty $$
Mi pregunta es si esto se puede expresar también como $$ x_c=\frac{\ln c}{c}+o\left(\frac{\ln c}{c}\right)\text{ as }c\to\infty? $$
Para los sumandos $o\left(\frac{1}{c}\right)$ y $\frac{\ln(\ln c)}{c}$ Puedo ver inmediatamente que están en orden $o\left(\frac{\ln c}{c}\right)$ como $c\to\infty$ .
Pero para los sumandos $f(x_c)$ y $\frac{\ln(1-\frac{cf(x_c)}{\ln c})}{c}$ esto no me queda nada claro.
Editar (debido a los comentarios):
$x_c=o(1)$ y $x_c=O(\ln c/c)$ . Ambas cosas juntas implican $x_c^2=o(\ln c/c)$ , como $c\to\infty$ . Además, $f(x_c)=O(x_c^2)$ y $x_c^2=o(\ln c/c)$ implican que $f(x_c)=o(\ln c/c)$ como $c\to\infty$ .
Por lo tanto, queda por aclarar si $\frac{\ln(1-\frac{cf(x_c)}{\ln c})}{c}=o(\ln c/c)$ como $c\to\infty$ .
