El problema es el siguiente:
En la figura 1. hay un círculo como se muestra. El radio es igual a 10 pulgadas y su centro está marcado con la letra O. Si $\measuredangle PC=30^{\circ}$. $\textrm{Find AB+BC}$.
Las alternativas existentes en mi libro son:
- $3\left( \sqrt{2}+\sqrt{6}\right)$
- $4\left( \sqrt{6}-\sqrt{2}\right)$
- $5\left( \sqrt{3}-\sqrt{2}\right)$
- $5\left( \sqrt{3}+\sqrt{2}\right)$
- $5\left( \sqrt{2}+\sqrt{6}\right)$
Después de analizar el dibujo de la figura de abajo muestra el conjunto de todas las relaciones que pude encontrar y que se resume como sigue:
El triángulo $\textrm{COP}$ es isósceles ya que comparte el mismo lado de la radio del círculo y desde $\measuredangle PC=30^{\circ}$, entonces todo lo que queda por hacer es aplicar la identidad que dice que la suma de los ángulos internos de un triángulo debe equiparar a $180^{\circ}$.
$$2x+30^{\circ}=180^{\circ}$$ $$x=\frac{150^{\circ}}{2}=75^{\circ}$$
Desde $\measuredangle OCP = \measuredangle OPC$, su ángulo suplementario sería:
$$180^{\circ}-75^{\circ}=105^{\circ}$$
Desde que se da el problema:
$$\measuredangle COA = 90^{\circ}$$
por lo tanto, su complementario del ángulo de con $\measuredangle COP = 30^{\circ}$ convertirse en:
$$\measuredangle POA = 60^{\circ}$$
Desde $PO = OA$ esto también podría hacer otro triángulo isósceles y por la recurrente a la identidad anterior:
$$2x+60^{\circ}=180^{\circ}$$ $$x=\frac{180^{\circ}-60^{\circ}}{2}=60^{\circ}$$
Por lo tanto el triángulo POA es equilátero uno así,
$$\textrm{PA=10 inches}$$
Como $\measuredangle OPB = 105 ^{\circ}$$\measuredangle OPA = 60^{\circ}$, entonces su diferencia es: $\measuredangle APB = 45^{\circ}$.
A partir de esto es fácil notar que $\measuredangle PAB = 45^{\circ}$.
Desde el vértice $\textrm{B}$ del triángulo $\textrm{ABP}$$\measuredangle = 90 ^{\circ}$. Hice identificado un derecho especial triángulo con la forma $45^{\circ}-45^{\circ}-90^{\circ}$ o $\textrm{k, k,}\,k\sqrt{2}$.
Al equiparar el recién encontrado lado $\textrm{PA = 10 inches}$ $k\sqrt{2}$esto se transforma en:
$$k\sqrt{2} = 10$$
$$k = \frac{10}{\sqrt{2}}$$
A partir de esto se establece que:
$$AB = \frac{10}{\sqrt{2}}$$
Ya tenemos $\textrm{AB}$ también sabemos $\textrm{PB}$ $AB = PB = \frac{10}{\sqrt{2}}$
Por lo tanto, todo lo que queda por hacer es encontrar a $\textrm{CP}$ $CP+PB = BC$
Para encontrar $CP$ I se utiliza la ley de los cosenos de la siguiente manera:
$$a^{2}=b^{2}+c^{2}-2bc\,\cos A$$
Siendo a, b y c los lados de un triángulo ABC y Un adversario ángulo desde el lado tomado como referencia en el lado izquierdo de la ecuación.
En este caso
$$(CP)^{2}= 10^{2}+10^{2}-2(10)(10)\cos30^{\circ}$$ $$(CP)^{2}= 10^{2} \left(1+1-2\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)\right)$$ $$CP = 10 \sqrt{ 2-\sqrt{3}}$$
Por lo tanto, $CP = 10 \sqrt{ 2-\sqrt{3}}$ y tenemos todas las piezas para que el resto es sólo la adición de ellos.
$$CP+PB= BC = 10 \sqrt{ 2-\sqrt{3}} + \frac{10}{\sqrt{2}}$$
$$AB= \frac{10}{\sqrt{2}}$$
$$AB + BC = \frac{10}{\sqrt{2}} + 10 \sqrt{ 2-\sqrt{3}} + \frac{10}{\sqrt{2}}$$
Y eso es lo lejos que me fui, pero a partir de entonces no sé si lo que hice fue correcto o ¿me he perdido algo? como mi respuesta no aparece dentro de las alternativas.
El mejor que me podía venir por la simplificación fue:
$$\frac{10\sqrt{2}}{2}+10\sqrt{2-\sqrt{3}}+\frac{10\sqrt{2}}{2}$$
$$10\sqrt{2}+10\sqrt{2-\sqrt{3}}$$
$$10\left(\sqrt{2}+\sqrt{2-\sqrt{3}}\right)$$
y, eso es todo. Pero no parece estar en las opciones dadas. Puede alguien ayudarme a encontrar si hice algo mal?. Si un dibujo es necesario que incluya uno como yo no soy lo suficientemente inteligente para notar estas cosas fácilmente.
