¿Cuáles son los supuestos que $C$, $P$, y $T$ debe satisfacer?

Question

No estoy pidiendo una prueba de la $CPT$ teorema. Me estoy preguntando cómo el $CPT$ teorema incluso puede ser definido.

Como matrices en $O(1,3)$, $T$ y $P$ son sólo $$ T = \begin{pmatrix} -1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \hspace{1cm} P = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -1 \end{pmatrix} $$ Estas satisfacer ciertas propiedades. Para uno, como matrices, $T^2 = 1$, $P^2 = 1$. (Por lo tanto, cualquier homomorphism de $O(1,3)$ debe cumplir también esta propiedad.) El trabajo con estas matrices, se puede demostrar que las rotaciones en $\mathfrak{so}(1,3)$ conmuta con $T$, mientras que aumenta la anti-conmuta con $T$$P$. Esto es sólo la definición de $T$ $P$ como elementos en $O(1,3)$.

En la teoría cuántica de campos, exigimos que nuestro espacio de Hilbert lleva a un (proyectiva) representación de $SO^+(1,3)$ donde $SO^+(1,3)$ es un especial orthochronous grupo de Lorentz, es decir, la parte $SO(1,3)$ conectado a la identidad. (En otras palabras, queremos una verdadera representación de $Spin(1,3)$.) Podemos definir operadores locales $\mathcal{O}_\alpha(x)$ transformar a través de la conjugación. Es decir, para todos los $\tilde\Lambda \in Spin(1,3)$, queremos $$ U(\tilde\Lambda) \mathcal{S}_\alpha(x) U(\tilde\Lambda)^{-1} = D_{\alpha \beta}(\tilde \Lambda) \mathcal{S}_\beta (\Lambda x) $$ donde $\Lambda \in SO(1,3)$ es el elemento correspondiente de $\tilde{\Lambda}$ $D_{\alpha \beta}$ debe ser una representación de $Spin(1,3)$.

Esta es una gran manera de hacer las cosas. Nuestros requisitos para $U$ $\mathcal{O}_\alpha$ físico motivación, y nos da una tarea: encontrar representaciones de $Spin(1,3)$ y definir campos cuánticos de ellos.

Lo que este enfoque no ofrece, a primera vista, de cómo incorporar las $T$ o $P$, digamos $C$. Sabemos que no sólo podemos incluso buscar grupo homomorphisms de $O(1,3)$ operadores en nuestro espacio de Hilbert, porque todos sabemos que los $\hat P^2 = 1$ no necesita ser cierto en la teoría cuántica de campos. Lo que físicamente motivado matemática de los requisitos de qué tenemos que poner en $C$, $P$, y $T$ que debe "determinar" ellos (en un buen sentido) para los diferentes espacios de Hilbert que hemos construido. La introducción de $C$ es especialmente confuso, debido a que se requiere de nosotros para intercambio de partículas estados y anti-partícula de los estados, pero tales estados generalmente se define a través de las palabras (es decir, esta es una de las partículas, esto es una anti-partícula, así es como funcionan...). Después de la colocación adecuada de los requisitos en $C$, $P$, y $T$, uno debería, en teoría, ser capaz de demostrar la $CPT$ teorema de, mostrar $T$ debe ser anti-unitaria, etc. Sé que esto es una gran pregunta, por lo que las referencias que tratan sobre estas sutilezas también sería apreciada.

Answer 1

C, P, y T no necesita todos los que existen en una teoría cuántica de campos, y que puede incluso no ser la única. Sólo CPT está garantizado en general unitaria QFT. En el modelo estándar, por ejemplo, $CP$ $T$ no son simetrías pero su composición es.

Un simple ejemplo, considere la posibilidad de un 2-componente real fermión $\psi$ 1+1D. La masa libre de Lagrange para este campo es de $$i \psi^T \gamma^0 \gamma^\mu \partial_\mu \psi.$$ Hay dos opciones de inversión de tiempo simetría: $$\psi(x,t) \mapsto \pm \gamma^0\psi(x,-t),$$ y una masa plazo $$i\psi^T \gamma^0 \psi$$ se rompe uno. La paridad también tiene una opción $$\psi(x,t) \mapsto \pm \gamma^1\psi(-x,t)$$ y también está roto por una masa plazo. Mientras tanto no hay ningún indicador de los cargos, de modo que podemos elegir $C$ a un acto trivial y $CPT = PT$ es una simetría incluso con una masa plazo. También podemos optar $C$ a actuar por la simetría quiral $$\psi(x,t) \mapsto \pm\gamma^2\psi(x,t)$$ y conseguir otro "CPT" la transformación que es una simetría de la masa modelo, pero no es una simetría de la masiva modelo.

Así que usted puede ver que hay un montón de simetrías que podemos llamar de CPT, el "teorema CPT" sólo dice que no importa cómo modificar esta teoría, habrá algunos anti-unitaria simetría $S$ (a veces di cuenta de que, literalmente, como C veces P veces T pero no siempre). $S$ es requerido para satisfacer $S^2 = 1$ así como el Reeh-Schlieder teorema que dice que si $\mathcal{O}(x)$ es un punto de operador, entonces $$\langle \mathcal{O}(x) S \mathcal{O}(x) S^{-1} \rangle \ge 0,$$ con 0 iff $\mathcal{O}(x)$ es un contacto del operador (es decir. tiene cero separadas las funciones de correlación, pero pueden tener la función delta de correlators). La existencia de una $S$ es equivalente a unitarity.