¿Es la probabilidad de elegir un As como segunda carta de una baraja la misma si la baraja se baraja después de la primera carta?

Question

Esta es la situación:

Tienes una baraja de 52 cartas que ya está barajada. Eliges la primera carta, y la primera carta no es un As. ¿La probabilidad de sacar un as como segunda carta es la misma si

1. La segunda carta se extrae inmediatamente del mazo
2. Primero se baraja el resto del mazo sin volver a añadir la primera carta, y luego se extrae la segunda.

Para mí, es evidente que la probabilidad de sacar un As en el segundo caso es de 4/51, pero no estoy del todo seguro de que la probabilidad sea la misma en el primer caso.

Además, ¿cuál sería la probabilidad del primer caso si hemos sacado n cartas y ninguna de ellas es un as?

Answer 1

Si no está intuitivamente claro, puedes comprobar tu cálculo utilizando la probabilidad contigua:

• $X$ ... el evento "la segunda carta es un as"
• $Y$ ... el evento "la primera carta es no un as"

Entonces, $P(X\land Y) = \frac{48\cdot 4}{52\cdot 51}$ y $P(Y) = \frac{48}{52}$

Entonces $$P(X|Y) = \frac{P(X\land Y)}{P(Y)} = \frac{\frac{4\cdot 48}{52\cdot 51}}{\frac{48}{52}} = \frac{4}{51}$$

Answer 2

Dado que conoces la primera carta de tu mazo barajado, las restantes $51!$ formas de organizar el resto $51$ son igualmente probables. Para cada una de las $52$ valores posibles de la primera carta que tiene $51!$ igualmente probables arreglos de los restantes $51$ tarjetas. Esto es coherente con la existencia de $52\cdot 51!=52!$ arreglos de toda la cubierta para empezar.

Se puede concluir que, después de sacar la primera carta, las restantes $51$ Las cartas tienen la misma probabilidad de estar en cualquier orden barajado, por lo que barajarlas no cambia esencialmente nada. Este argumento debería llevar a la conclusión de que la probabilidad es la misma en ambos casos.

Answer 3

Sí, la probabilidad de sacar un As es la misma si se baraja el resto del mazo o no. Tienes razón en que es 4/51. Si sacas n cartas y ninguna es un as, la probabilidad de sacar un as a continuación será de 4/(52-n).

Answer 4

En ambos casos, sólo quedan 51 cartas, por lo que $Pr = \dfrac{4}{51}$

Y si $n$ se han sorteado los no-caros, $Pr = \dfrac{4}{52-n}$