Radio de un círculo que toca un rectángulo, ambos dentro de un cuadrado

Question

Dada esta configuración :

Estamos dado que el rectángulo de las dimensiones de 20 cm por 10 cm, y tenemos que encontrar el radio del círculo.

Si de alguna manera sabemos que la distancia entre el círculo y la esquina de la plaza, a continuación, podemos encontrar fácilmente la radio. (Es igual a $ \sqrt{2}\times R-R$)

Yo realmente no puedo entender cómo resolverlo. Cualquier ayuda es apreciada.

Answer 1

Simplemente usa el teorema de Pitágoras:
$a=10$$cm$
$b=20$$cm$
$(r-a)^2+(r-b)^2=r^2$
$(r-10)^2+(r-20)^2=r^2$
$r^2+100-20r+r^2+400-40r=r^2$
$r^2-60r+500=0$
$r=50$$cm$
$r=10$$cm$
El$r=50$$cm$% es la respuesta aceptable.

Answer 2

Coloque el centro de la crícula en$O.$

Deje que el radio sea$R$

La esquina del cuadrado es$(R,R)$ He hecho una pequeña modificación a la imagen para crear menos números negativos.

Al desplazar por el rebajo, el descorazonador del rectángulo es$(R-20, R-10)$

Y la distancia desde este punto es igual a$R.$

Eso debería ponerlo en camino hacia la solución.

Answer 3

El punto donde rectángulo toca el círculo es $|R-a|$ $|R-b|$ $x$ $y$ ejes, donde $a$ $b$ son las longitudes de los lados del rectángulo y $R$ es el radio del círculo.

Esto conduce a la ecuación $$(R-a)^2 + (R-b)^2 = R^2,$$ which has solutions $$R_{1,2} = a+b\pm\sqrt{2ab}.$$

Una solución corresponde a un rectángulo más grande (en comparación con el círculo), uno tocando el círculo en el otro lado, que no es el caso aquí. Pequeño rectángulo en comparación con el círculo el círculo es más grande si el rectángulo se mantiene fija, por lo que el radio correcto es $$R = a+b+\sqrt{2ab}.$$

Conectar $a=10$ $b=20$ da $R=50$.

Answer 4

$(x, y) = (R-20, R-10)$ como un punto en el círculo$y = \sqrt{R^2 - x^2}$

$R - 10 = \sqrt{R^2 - (R-20)^2}$

$(R- 10)^2 = R^2 - (R-20)^2$

$R^2 - 20R + 100 = R^2 - (R^2 - 40R + 400)$

$R^2 - 60R + 500 = 0$

$(R - 50)(R-10) = 0$

$R = 50$ es la única opción sensata.

Answer 5

Usted puede usar trigonometría para conseguir la misma respuesta como los de arriba.

Dibuje tres líneas: Una desde el centro del círculo a la esquina compartida por el cuadrado y el rectángulo. A continuación, dibuje una línea desde el centro del círculo a la esquina más cercana al centro del círculo. Dibujar una línea final siendo la diagonal que conecta el anteriormente mencionado esquinas.

Sabemos que la longitud de la tercera línea por el teorema de pitágoras. Si llamamos a la longitud lateral de la plaza de L, la longitud de la más corta de las dos líneas restantes es de L/2. La longitud de largo, L/sqrt(2).

Encontrar el ángulo que forma la diagonal con el largo de las líneas de dibujo le permite aplicar el coseno de la regla.

La línea más larga cumple con el cuadrado de la esquina, en un ángulo de 45 grados con respecto a cualquiera de los lados. Entonces el ángulo de la diagonal con el lado izquierdo de la plaza, tiene una tangente de 2.

Aplicar el coseno de la regla, a continuación, solucionar el resultante cuadrática y se obtienen dos posibles respuestas, de las cuales sólo una es plausible.