Prueba de ecuación de onda unidimensional

Question

La ecuación de onda está dada por$\mu_{tt}=c^2 \mu_{xx}$ y (en una dimensión espacial) se puede reducir a$\mu_{\alpha\beta}=0$ realizando los siguientes cambios$\alpha=x-ct$ y$\beta=x+ct$.

Desde$\mu_{\alpha\beta}=0$ ¿cómo muestro que la solución general$\mu(x,t)$ se puede escribir como$\mu(x,t)=f(x-ct)+g(x+ct)$ donde$f$ y$g$ son funciones arbitrarias?

Answer 1

$$\mu_{\alpha\beta}=0$ $ De la regla de la cadena de diferenciación:$$\mu_\alpha=\mu_x x_\alpha+\mu_t t_\alpha$ $$x=\frac12(\alpha+\beta)\quad;\quad t=\frac{1}{2c}(\beta-\alpha)$

$x_\alpha=\frac12\quad;\quad x_\beta=\frac12\quad;\quad t_\alpha=-\frac{1}{2c}\quad;\quad t_\beta=\frac{1}{2c}$

$$\mu_\alpha=\frac12\mu_x -\frac{1}{2c}\mu_t $ $$$\mu_{\alpha\beta}=\frac12(\mu_{xx}x_\beta+\mu_{xt}t_\beta) -\frac{1}{2c}(\mu_{tx}x_\beta+\mu_{tt}t_\beta)$ $$$\mu_{\alpha\beta}=\frac12\left(\frac12\mu_{xx}+\mu_{xt}\frac{1}{2c}\right) -\frac{1}{2c}\left(\frac12\mu_{tx}+\mu_{tt}\frac{1}{2c}\right)$ $ Después de la simplificación:$$\mu_{\alpha\beta}=\frac14\left(\mu_{xx}-\frac{1}{c^2}\mu_{tt}\right)$ $ Dado que$\mu_{\alpha\beta}=0$:$$\frac14\left(\mu_{xx}-\frac{1}{c^2}\mu_{tt}\right)=0$ $$$c^2\mu_{xx}=\mu_{tt}$ $