CLT para variables aleatorias con colas pesadas

Question

La forma más simple de CLT clásico se puede poner en la siguiente forma:

Si$X_1,X_2,\dots$ son iid con mean$0$ y varianza$1$, entonces la distribución de la suma normalizada$$\frac{X_1+X_2+\dots+X_n}{\sqrt{n}}$ $ converge a la del Gaussian.

¿Hay algún resultado como el siguiente?

Si$X_i$ son iid con varianza infinita, entonces$$\frac{X_1+X_2+\dots+X_n}{n^{1/\alpha}}$ $ converge en la distribución a una variable aleatoria de Cauchy.

Si es así, ¿cuál debería ser$\alpha$?

Answer 1

No hay resultados de este formulario, pero la media de la muestra no necesariamente converge a una distribución de Cauchy-hay toda una familia de distribuciones llamado la estable distribuciones que pueden ser límites como esta. La Normal y la de Cauchy distribuciones son sólo dos de ellos, y todos, pero el Normal, han infinito de la varianza, por lo que sólo tener una infinita variación no es suficiente para converger a la de Cauchy-usted necesita exactamente la cola derecha de la conducta.

Además de no existir un número infinito de posibles limitación de las distribuciones (incluyendo asimétrica), hay una infinidad de posibles valores de $\alpha$ en su suma parcial. En el caso de que el $X_i$ son yo.yo.d. Cauchy, podemos tomar $\alpha = 1$ y la media se obtiene también de Cauchy. En otros casos, sin embargo, si las distribuciones tienen diferentes cola comportamiento y convergen a una diferente distribución estable, la normalización de factor será diferente.