He estado probando algunos hechos acerca de Rademacher funciones:
Sé que el Rademacher funciones son: $r_n(t)=\operatorname{sign}(\sin{2^n\pi t})$
o, de manera equivalente: $$r_m(t):=\left\{\begin{array}{cl}-1 & \mbox{if }t\in\displaystyle\bigcup_{k=1}^{2^{m-1}} \left(\frac{2k-1}{2^m},\frac{2k}{2^m}\right)\\&\\0,&\mbox{if }t\in\left\{\displaystyle\frac{k}{2^m}\,:\,k=1,2,\ldots,2^m\right\}\\&\\1,&\mbox{if }t\in\displaystyle\bigcup_{k=1}^{2^{m-1}}\left(\frac{2k-2}{2^m},\frac{2k-1}{2^m}\right)\end{array}\right.$$
Sé que las siguientes propiedades:
$\triangleright$ Si $n>m$ $\displaystyle\int_{I_j^m} r_n=0$ donde $I_j^m=\left[\displaystyle\frac{j}{2^m},\frac{j+1}{2^m}\right],0\leq j<2^m$.
$\triangleright$ Si $n_1<n_2<\ldots<n_k$, $\displaystyle\int r_{n_1}\ldots r_{n_k}=0$
$\triangleright$ $(r_n)_{n\geq 0}$ es un ortonormales sistema en $L_2([0,1])$ que no es la base.
Yo sólo he probado esta desigualdad: $$\displaystyle\int_0^1\left|\displaystyle\sum_{i=1}^n a_i r_i(t)\right|^4\leq 3\left(\displaystyle\sum_{i=1}^n |a_i|^2\right)^2$$ donde $a_1,\ldots, a_n$ son escalares (real o complejo).
Ahora necesito mostrar que la secuencia de $\left(\displaystyle\sum_{i=1}^n \frac{r_i(t)}{n}\right)$ converge t0 $0$ en casi todas partes en $[0,1]$ el uso de la última desigualdad (se supone que es inmediata, pero no estoy de control de la convergencia de una.e.). Yo pensaba que el uso de $a_i=\frac{1}{n}$ o algo similar, pero no sé.
Muchas thx.
