Encuentra el valor de : $\cos x \cos 2x...\cos 999x$ dado que $x=\frac {2\pi}{1999}$

Question

Dado $x=\frac {2\pi}{1999}$

Encuentre el valor de $$\cos x \cos 2x \cos 3x ...\cos 999x$$

Así que intenté ampliar $\sin {2000x}=2\sin 1000x \cos 1000x$

Entonces, reescribiendo $\cos 1000x= \cos {(999x+x)}$

No ha habido suerte hasta ahora.

Answer 1

Dos enfoques para la evaluación:

$$\prod_{k=0}^{n-1}\cos\left(\frac{2\pi k}n\right)$$

cuando $n$ es impar. Este es el cuadrado del valor que se busca, por lo que tendremos que averiguar el signo del producto real a partir de $k=1$ a $k=\frac{n-1}{2}$ .

Enfoque de números complejos

El primer enfoque es escribir: $z=e^{2\pi i/n}$ entonces busca el valor de $$\prod_{k=0}^{n-1}\cos\left(\frac{2\pi k}n\right)=\prod_{k=0}^{n-1} \frac{1}{2}\left(z^k+\frac{1}{z^k}\right)=\frac{1}{2^{n}}\prod_k z^{-k} \prod (z^{2k}+1)$$ Pero el $z^{2k}$ son exactamente las raíces de $x^{n}-1$ ya que $n$ es impar, así que $z^{2k}+1$ son sólo las raíces de $(z-1)^n -1$ y su producto debe ser $2$ ya que $(z-1)^n-1$ es un polinomio de grado impar $n$ con valor $-2$ en $z=0$ .

También vemos que $\prod_{k=0}^{n} z^{-k} = z^{-n(n-1)/2} = 1$ desde $n$ es impar así que $n\mid n(n-1)/2$ y $z^n=1$ .

Así que $$\prod_{k=0}^{n-1} \cos \frac{2\pi k}{n} = \frac{1}{2^{n-1}}$$

Enfoque polinómico de Chebyshev

Si sabes Polinomios de Chebyshev toma:

$$\cos(nx)=T_n(\cos(x))$$

donde $T_n$ es el polinomio de Chebyshev del primer tipo.

Entonces el producto de las raíces de $T_n(x)-1$ es el producto:

$$\prod_{k=0}^{n-1} \cos\left(\frac{2\pi k}{n}\right)$$

Esto es cierto porque, aunque hay valores repetidos aquí, hay raíces repetidas de $T_n(x)-1$ porque donde $k\neq 0$ los valores $x_k=\cos\left(\frac{2\pi k}{n}\right)$ son máximos locales.

El producto de las raíces de $T_n(x)-1$ est $\frac{1}{2^{n-1}}$ cuando $n$ es impar, ya que el coeficiente de plomo si $T_n$ est $2^{n-1}$ y el coeficiente constante es $-1$ .

Determinación del signo

Tenemos, mediante cualquiera de las dos técnicas, que $$\left(\prod_{k=0}^{(n-1)/2} \cos\left(\frac{2\pi k}n\right)\right)^2=\frac{1}{2^{n-1}}$$

Así que el producto que buscamos es:

$$\frac{\pm 1}{2^{(n-1)/2}}$$

El signo vendrá determinado por el número de términos negativos que haya:

$$\frac{\pi}{2}<\frac{2\pi k}{n}<\pi$$

o:

$$\frac{n}{2}<2k<n$$

Para $n=1999$ Esto significa que $1000\leq 2k < 1999$ o $500\leq k\leq 999$ por lo que hay $500$ términos negativos, por lo que el producto es positivo.

Para más información sobre impar $n$ la ecuación es:

$$\frac{n+1}{4}\leq k< \frac{n+1}{2}$$

Así que el número de términos negativos es $$\frac{n+1}{2}-\left\lceil\frac{n+1}{4}\right\rceil= \begin{cases}\frac{n-1}{4}&n\equiv 1\pmod 4\\ \frac{n+1}{4}&n\equiv 3\pmod 4 \end{cases} $$

Por lo tanto, la respuesta final puede ser:

$$\frac{(-1)^{\lceil(n-1)/4\rceil}}{2^{(n-1)/2}}$$

Answer 2

Si $\cos(2n+1)x=1,(2n+1)x=2m\pi$ donde $m$ es un número entero cualquiera

$x=\dfrac{2m\pi}{2n+1}$ donde $m=0,1,2,\cdots,2n$

Pero $\cos(2n+1)x=2^{2n}\cos x+\cdots+(-1)^n\cos x$

Por lo tanto, las raíces de $2^{2n}\cos^{2n+1}x+\cdots+(-1)^n\cos x-1=0$ son $\cos\dfrac{2m\pi}{2n+1}$ donde $m=0,1,2,\cdots,2n$

$\implies\prod_{m=0}^{2n}\cos\dfrac{2m\pi}{2n+1}=\dfrac1{2^{2n}}$

Para $m=0,\cos\dfrac{2m\pi}{2n+1}=1$ $\implies\prod_{m=1}^{2n}\cos\dfrac{2m\pi}{2n+1}=\dfrac1{2^{2n}}$

Otra vez, $\cos\dfrac{(2n+1-m)2\pi}{2n+1}=\cos\left(2\pi-\dfrac{2m\pi}{2n+1}\right)=\cos\dfrac{2m\pi}{2n+1}$

$\implies\prod_{m=1}^{2n}\cos\dfrac{2m\pi}{2n+1}=\left(\prod_{m=1}^n\cos\dfrac{2m\pi}{2n+1}\right)^2$

En consecuencia, $\prod_{m=1}^n\cos\dfrac{2m\pi}{2n+1}=\pm\dfrac1{2^n}$

Ahora $\cos\dfrac{2m\pi}{2n+1}<0$ si $\dfrac{3\pi}2>\dfrac{2m\pi}{2n+1}>\dfrac\pi2\iff\dfrac{3(2n+1)}4>m>\dfrac{2n+1}4$

Pero $\dfrac{3(2n+1)}4>n$

Por lo tanto, hay $n-\left\lceil\dfrac{2n+1}4\right\rceil$ raíces negativas, que dictarán el signo de $\prod_{m=1}^n\cos\dfrac{2m\pi}{2n+1}$