Hacer la división sintética para ver que
$$x^3-3x+1 = (x-\alpha)(x^2+\alpha x+\alpha^2-3)$$
Hacer la división sintética para ver que
A continuación, las otras raíces son sólo
$$\beta,\gamma = {-\alpha\pm \sqrt{12-3\alpha^2}\over 2}$$
Ahora, el discriminante aquí debe ser un cuadrado en el campo, y como $\alpha$ es un entero algebraico, las otras raíces son también enteros, y por lo que sospecho que si
$$12-3\alpha^2 = (a\alpha^2+b\alpha+c)^2$$
a continuación, vamos a adivinar $b=1$ desde que se cancelará con el $-\alpha$, y además tenemos la sospecha de que $a, b$ son ambos inclusive, de modo que la división por $2$ en el denominador se mantendrá en el $\Bbb Z$-módulo se extendió por $1,\alpha,\alpha^2$.
Escrito
$$12-3\alpha^2 = (2k\alpha^2+\alpha + 2j)^2$$
$$=4k^2\alpha^4+\alpha^2+4j^2+2(2k\alpha^3+4kj\alpha^2+2j\alpha)$$
$$=4k^2(3\alpha^2-\alpha)+\alpha^2+4j^2+2(2k(3\alpha-1)+4kj\alpha^2+2j\alpha)$$
$$=\alpha^2(12k^2+1+8kj)+\alpha(12k-4k^2+4j)+1(4j^2-4k)$$
Llegamos a la conclusión de
$$\begin{cases} j^2-k = 3 \\
3k-k^2+j=0 \\
3k^2+2kj = -1
\end{casos}$$
que parece oneroso, pero el último que nos da $k=\pm 1$ desde $k$ es un divisor de una unidad, y el uso que con la primera muestra $j^2=4$ es decir $j=\pm 2$. Comprobación en contra de la segunda, vemos a $3k+j = 1$ $k=1, j=-2$ obras y obtenemos una solución es $\beta = \alpha^2 -2$. Y claramente el contrario todavía va a la plaza a esto, así que la negación de todos los coeficientes verifica $\gamma = -\alpha^2-\alpha+2$. La imagen de $\alpha^2$ es la imagen de $\alpha$, cuadrado, es decir, se $\beta^2$, de modo que la plaza esta a obtener:
$$\beta^2 = \alpha^4-4\alpha^2+4 = 3\alpha^2-\alpha-4\alpha^2+4 = -\alpha^2-\alpha + 4$$
Así que nuestra matriz para un generador del grupo de Galois que corresponde a la permutación $\alpha\mapsto\beta\mapsto\gamma$ es sólo
$$\sigma = \begin{pmatrix}
1 & -2 & 4 \\
0 & 0 & -1 \\
0 & 1 & -1
\end{pmatrix}
$$
Incluso podemos confirmar que $\sigma^3= I$, $3\times 3$ matriz identidad, la comprobación de su orden.
