Dado un valor real de la función$C^1$$f$, muestre que existe una función continua de valores vectoriales$F$ con$f(X) = X \cdot F(X)$

Question

Supongamos que$f:\mathbb{R}^{n} \rightarrow \mathbb{R}$ es una función con derivadas parciales continuas de primer orden tal que$f(0)=0$. Muestre que existe una función continua$F:\mathbb{R}^{n}\rightarrow \mathbb{R}^{n}$ tal que$f(X)=X \cdot F(X)$ en$\mathbb{R}^{n}$.

Parece que la función$F(X):=(\int_{0}^{1} (\partial_{j}f)(tX)dt))_{1\leq j \leq n}$ es la idea correcta, pero parece que no funciona. Creo que me falta algo ... agradecería cualquier ayuda.

Answer 1

Esta es una comunidad wiki respuesta tratando de eliminar esta pregunta sin respuesta de la cola.

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Parece que la función de $F(X):=(\int_{0}^{1} (\partial_{j}f)(tX)dt))_{1\leq j \leq n}$ es la idea correcta, pero no parecen funcionar.

Usted está en la perfección la pista de la derecha, pero se perdió el objetivo de ligeramente. Primer aviso de la siguiente identidad sobre la derivada parcial con respecto a $t$: $$ \int^1_0 \frac{\partial f(tX)}{\partial t}dt = f(X) - f(0) = f(X).\la etiqueta{1} $$ Por lo tanto $$ \int^1_0 \frac{\partial f(tX)}{\partial t}dt = \int^1_0 X\cdot \nabla f(tX) \,dt = X\cdot \underbrace{\int^1_0 \nabla f(tX) \,dt}_{\text{Este es } F(X)}. $$ Este es el mismo con la expresión de $F$ usted escribió: $$ F(X):=\left(\int_{0}^{1} (\partial_{j}f)(tX)dt)\right)_{1\leq j \leq n}. $$

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Comentario: no necesariamente necesita $f(0)=0$. Para (1) puede ser modificado para: $$ \int^1_0 \frac{\partial \big(t^n f(tX)\big)}{\partial t}dt = 1^n f(X) - 0^n f(0) = f(X). $$ El lado izquierdo es $$ \int^1_0 \frac{\partial \big(t^n f(tX)\big)}{\partial t}dt = \int^1_0 \Big(nt^{n-1} f(tX) + t^n X\cdot \nabla f(tX)\Big)dt \\ = \nabla \cdot \int^1_0 t^{n-1} X f(tX)\,dt. $$

Answer 2

Para el$x$% considerado, considere la función auxiliar$\phi(t):=f(tx)$. Según la regla de la cadena, uno tiene$$\phi'(t)=\nabla f(tx)\cdot x$ $ y por lo tanto$$f(x)=\phi(1)-\phi(0)=\int_0^1\phi'(t)\ dt=\left(\int_0^1 \nabla f(tx)\ dt\right)\cdot x\ .$ $ Se deduce que$$F(x):=\int_0^1 \nabla f(tx)\ dt$ $ hace el trabajo, como ha conjeturado.

Answer 3

Inicialmente pensé $$ F(x)=\frac{xf(x)}{x.x}$$ would work, but sadly as pointed out is not defined at the origin. We could add the case $F(0)=0$ but this does not lead to a continuous definition unless we have the additional contraint that $\nabla f=0$, en el origen.

Afortunadamente, podemos construir una función como la siguiente:-

Deje $H=\nabla f$ $h=\frac{H(0)}n$

Ahora tome $g(x)=f(x)-x.h$

A continuación, $\nabla g = \nabla(f - x.h)=\nabla f-\nabla (x.h)=\nabla f-h\nabla.x-x\nabla.h$

$\nabla.x=n$ y $h$ es constante $\nabla.h=0$

S0 $\nabla g=\nabla f-hn=\nabla f-H(0)$

Y por lo tanto $\nabla g(0) = \nabla f(0) - H(0)=H(0)-H(0)=0$

Por lo que podemos utilizar mi idea inicial para $g(x)$ y tomar $$G(x)=\frac{xg(x)}{x.x}$$ with $G(0)=0$ which thanks to $\nabla g(0)=0$ is continuous everywhere, and $$ x.G(x) = x.\frac{xg(x)}{x.x}= \frac{x.xg(x)}{x.x}=g(x) $$ for $x\neq 0$ and $g(0)=f(0)-0.h=0-0=0.0$ también trabaja en el origen, Hurra!

Pero ahora tenemos que encontrar algo que funcione para $f(x)$

Ahora $f(x)=g(x)+x.h=x.G(x)+x.h=x.(G(x)+h)$

así que podemos aprovechar $F(x)=G(x)+h$