Mostrar si dos números son iguales o no

Question

$\dfrac{\sin (2x+y)}{\sin (2x)} =\dfrac{\sin (x+2y)}{\sin (2y)}$,dónde $0<x,y\le\dfrac{\pi}{4}$ .

¿Puedo mostrar que$x=y $ o encontrar dos números$x,y$ de modo que$x\not=y$?

Answer 1

Editado: Creo que lo tengo ... había error tipográfico en el primer intento.

Después de la multiplicación cruzada, obtenemos$[2\sin y\sin(2x+y)]\cos y-[2\sin x\sin(x+2y)]\cos x=0$

$\Rightarrow[\cos(2x)-\cos2(x+y)]\cos y-[\cos(2y)-\cos2(x+y)]\cos x=0$

$\Rightarrow\cos2(x+y)[\cos x-\cos y]+[(2\cos^2x-1)\cos y-(2\cos^2y-1)\cos x]=0$

$\Rightarrow[\cos x-\cos y][\cos2(x+y)+2\cos x\cos y+1]=0$

$\Rightarrow[\cos x-\cos y][\cos^2(x+y)+\cos x\cos y]=0$

Tenga en cuenta que en el rango especificado, el segundo factor es estrictamente positivo. Por lo tanto, debemos tener$\cos x=\cos y\Rightarrow x=y$

Answer 2

Empezar con $$ \frac{\sin (2x+y)}{\sin (2x)} =\frac{\sin (x+2y)}{\sin (2y)}\etiqueta{1} $$ Reagrupamiento $(1)$, obtenemos $$ \frac{\sin\left(\frac{3}{2}(x+y)+\frac{1}{2}(x-y)\right)}{\sin\left((x+y)+(x-y)\right)}=\frac{\sin\left(\frac{3}{2}(x+y)-\frac{1}{2}(x-y)\right)}{\sin\left((x+y)-(x-y)\right)}\tag{2} $$ La expansión de $(2)$, los rendimientos de los $$ \begin{align} &\frac{\sin\frac{3}{2}\!\!(x+y)\;\cos\frac{1}{2}\!\!(x-y)+\cos\frac{3}{2}\!\!(x+y)\;\sin\frac{1}{2}\!\!(x-y)}{\sin(x+y)\;\cos(x-y)+\cos(x+y)\;\sin(x-y)}\\ &=\frac{\sin\frac{3}{2}\!\!(x+y)\;\cos\frac{1}{2}\!\!(x-y)-\cos\frac{3}{2}\!\!(x+y)\;\sin\frac{1}{2}\!\!(x-y)}{\sin(x+y)\;\cos(x-y)-\cos(x+y)\;\sin(x-y)}\tag{3} \end{align} $$ Desde $\frac{a+b}{c+d}=\frac{a-b}{c-d}\Rightarrow\frac{b}{a}=\frac{d}{c}$, $(3)$ implica $$ \frac{\tan\frac{1}{2}\!\!(x-y)}{\tan\frac{3}{2}\!\!(x+y)}=\frac{\tan(x-y)}{\tan(x+y)}\etiqueta{4} $$ Suponga $x\not=y$. Podemos reorganizar $(4)$ para obtener $$ \frac{\tan\frac{1}{2}\!\!(x-y)}{\tan(x-y)}=\frac{\tan\frac{3}{2}\!\!(x+y)}{\tan(x+y)}\etiqueta{5} $$ Desde $0<x,y\le\frac{\pi}{4}$, el lado izquierdo de $(5)$ es positivo y el denominador del lado derecho también es positivo; por lo tanto, el numerador del lado derecho debe ser positivo; es decir, $0<\frac{3}{2}\!\!(x+y)\le\frac{\pi}{2}$. Por lo tanto, el lado izquierdo es menor que $1$ y el lado derecho es mayor que $1$. Contradicción; por lo tanto, $x=y$.