Encontrar la serie Laurent de $f(z)=1/((z-1)(z-2))$

Question

Dejemos que $$f(z)=\frac{1}{(z-1)(z-2)}$$ y que $$R_1=\Bigl\{z\Bigm| 1<|z|<2\Bigr\}\quad\text{ and }\quad R_2=\Bigl\{z\Bigm| |z|>2\Bigr\}.$$

¿Cómo se encuentra la serie de Laurent convergente en $R_1$ ? También cómo se hace para $R_2$ ?

Estoy teniendo serios problemas con esto, ya que no veo cómo expandir las cosas en series con n como cualquier número entero, no sólo número natural. También cómo aplicar la fórmula de la integral de Cauchy a un anillo. Si alguien puede explicarme esto se lo agradeceré enormemente.

Answer 1

Supongo que quieres la expansión en serie de Laurent para esta función en $0$ (ya que este es el punto en el que se centran esos ánulos). La forma estándar de hacer esto es no utilizar la fórmula integral en absoluto - sólo la unicidad de la expansión de la serie de Laurent (que supongo que a menudo se demuestra utilizando la fórmula integral). Se hace algo de álgebra para encontrar representaciones en serie de esta función en potencias enteras de $z$ que convergen en los anillos dados. Por unicidad estas series tienen que ser las series de Laurent.

De las fracciones parciales $$ \frac{1}{(z - 1)(z - 2)} = -\frac{1}{z-1} + \frac{1}{z-2} $$ por lo que en cualquiera de los dos anillos basta con encontrar las expansiones en serie de Laurent de las funciones $\frac{1}{z-1}$ y $\frac{1}{z-2}$ y luego combinarlos término a término.

Si $|z| > 2$ Entonces, observe que $$ \frac{1}{z - 2} = \frac{1}{z} \frac{1}{1 - 2z^{-1}} $$ y el hecho de que $|z| > 2$ implica que $|2 z^{-1}| < 1$ . Si recuerdas la fórmula de la serie geométrica, $$ \frac{1}{1-u} = 1 + u + u^2 + \cdots, \qquad |u| < 1, $$ y luego poner $u = 2 z^{-1}$ ves que $$ \frac{1}{z - 2} = \frac{1}{z} (1 + (2z^{-1}) + (2z^{-1})^2 + \cdots) $$ es válida para todos los $|z| > 2$ . Si sólo se amplía esto, se obtiene la serie Laurent para $\frac{1}{z - 2}$ en esta región. Por supuesto, es mucho más limpio si se utiliza la notación sigma para escribirlo.

En el anillo $1 < |z| < 2$ Por supuesto, el método anterior no funciona. Pero también tenemos $$ \frac{1}{z - 2} = -\frac{1}{2} \frac{1}{(1 - \frac{z}{2})} $$ y si $1 < |z| < 2$ entonces $|\frac{z}{2}| < 1$ por lo que la fórmula de la serie geométrica se puede utilizar de nuevo de una manera ligeramente diferente aquí.

La expansión en serie de Laurent de $\frac{1}{z - 1}$ es más fácil ya que $\frac{1}{z-1} = \frac{1}{z} \frac{1}{1 - z^{-1}}$ y $|z^{-1}| < 1$ es válida para todos los $z$ en cualquiera de los dos anillos. Así que la expansión de Laurent de esta función es la misma en ambas regiones.

Las ideas utilizadas aquí se generalizan para encontrar la serie de Laurent de otras funciones racionales en otros anillos, por supuesto.

Answer 2

La función $f(z)$ puede expandirse en dos fracciones parciales $$ f(z):=\frac{1}{\left( z-1\right) \left( z-2\right) }=\frac{1}{z-2}-\frac{1}{z-1}. $$

Ahora expandimos cada fracción parcial en una serie geométrica. En $R_{2}$ estas series son $$ \begin{eqnarray*} \frac{1}{z-2} &=&\frac{1}{z\left( 1-2/z\right) }=\frac{1}{z} \sum_{n=0}^{\infty }\left( \frac{2}{z}\right) ^{n}\qquad \left\vert z\right\vert >2 \\ &=&\frac{1}{z}\sum_{n=0}^{\infty }2^{n}\frac{1}{z^{n}}=\sum_{n=0}^{\infty }2^{n}\frac{1}{z^{n+1}} \end{eqnarray*} $$ y $$ \begin{eqnarray*} \frac{1}{z-1} &=&\frac{1}{z\left( 1-1/z\right) } \\ &=&\frac{1}{z}\sum_{n=0}^{\infty }\left( \frac{1}{z}\right) ^{n}=\sum_{n=0}^{\infty }\frac{1}{z^{n+1}}\qquad \left\vert z\right\vert >1. \end{eqnarray*} $$

Y así, la serie Laurent es

$$ \frac{1}{\left( z-1\right) \left( z-2\right) }=\sum_{n=0}^{\infty }\frac{1}{ z^{n+1}}(2^{n}-1)\qquad \left\vert z\right\vert >2>1. $$

En $R_{1}$ las dos series geométricas son $$ \begin{eqnarray*} \frac{1}{z-2} &=&\frac{-1/2}{1-z/2}=\sum_{n=0}^{\infty }\left( -\frac{1}{2} \right) \left( \frac{z}{2}\right) ^{n}\qquad \left\vert z\right\vert <2 \\ &=&\sum_{n=0}^{\infty }-\frac{1}{2^{n+1}}z^{n} \end{eqnarray*} $$

y

$$ \begin{eqnarray*} \frac{1}{z-1} &=&\frac{1/z}{1-1/z}=\sum_{n=0}^{\infty }\frac{1}{z}\left( \frac{1}{z}\right) ^{n}\qquad \left\vert z\right\vert >1 \\ &=&\sum_{n=0}^{\infty }\frac{1}{z^{n+1}}. \end{eqnarray*} $$

Obtenemos así la siguiente serie de Laurent

$$ \frac{1}{\left( z-1\right) \left( z-2\right) }=\sum_{n=0}^{\infty }\left( - \frac{1}{2^{n+1}}z^{n}-\frac{1}{z^{n+1}}\right) \qquad 1<\left\vert z\right\vert <2. $$

Answer 3

La mayoría de los problemas de este tipo se pueden hacer con dos herramientas solamente: fracciones parciales, y el resultado $1/(1-w) = 1+w+w^2+\cdots$ para $|w|<1$ . Así que primero divide tu función $f$ en $1/(z-2)-1/(z-1)$ . Le mostraré cómo hacer frente a uno de estos factores, $1/(z-2)$ . Escribiendo esto como $\frac{-1}{2} \frac{1}{1-z/2}$ es tentador pero no es bueno: el " $1/(1-w)$ "convergerá sólo para $|z/2|<1$ no en las regiones que se supone que le interesan. Así que se saca un factor de $z^{-1}$ en su lugar:

$$ 1/(z-2) = z^{-1} \frac{1}{1-2/z}$$

El último término puede ampliarse con el $1/(1-w)$ serie, válida para $|2/z|<1$ es decir $|z|>2$ . Así que eso te da una serie de Laurent válida en la región correcta (una vez que multiplicas bu $z^{-1}$ . Estos métodos pueden utilizarse para resolver todos sus problemas.

Answer 4

HINT : Para $R_1$ $$ \frac{1}{(z-1)(z-2)} = \frac{1}{(z-1)((z-1)-1)} $$ Y ampliar en $w=z-1$ . Para $R_2$ : $$ \frac{1}{(z-1)(z-2)} = \frac{1}{z^2} \frac{1}{\left( 1 - \frac{1}{z}\right) \left( 1 - \frac{2}{z}\right)} $$ y expandirse en $w=\frac{1}{z}$ .