Cómo evaluar el límite $\lim_{n \to \infty}\sum_{k=0}^n \binom{n}{k} x^k / k!$

Question

Cómo evaluar este límite $$\lim{n \to \infty}\sum{k=0}^n \binom{n}{k} \frac{x^k}{k!}$ $

Answer 1

Yo jugar y ver si puedo entrar a nada.

Si $fn(x) = \sum{k=0}^n \binom{n}{k} \frac{x^k}{k!} \lt \sum_{k=0}^n \binom{n}{k $ y $f_n(x)} x ^ k = (1 + x) ^ n \gt \frac1{(n/2) $ y $fn(x)!} \sum{k=0}^n \binom{n}{k} x ^ k = \frac1{(n/2)!} (1 + x) ^ n $.

Meh. No mucho.

También $e^{-xt}fn(x) = \sum{k=0}^n \binom{n}{k} e ^ {-xt} \frac {x ^ k} $ {k}! por lo que

$\begin{array}\ \int_0^{\infty} e^{-xt}fn(x)dx &=\sum{k=0}^n \binom{n}{k} \int0^{\infty} e^{-xt}\frac{x^k}{k!}dx\ &=\sum{k=0}^n \binom{n}{k} \frac1{k!}\int0^{\infty} e^{-y}(y/t)^kdy/t\ &=\sum{k=0}^n \binom{n}{k} \frac1{k!t^{k+1}}\int0^{\infty} e^{-y}y^kdy\ &=\sum{k=0}^n \binom{n}{k} \frac1{t^{k+1}}\ &=\frac{(1+1/t)^n}{t} \text{or}\ \int_0^{\infty} e^{-x/t}f_n(x)dx &=t(1+t)^n \ \end{matriz} $

No seguro cuánto esto nos dice.

No puedo pensar otra cosa.

Tu turno.

Answer 2

Usando Mathematica la suma se puede expresar como sigue:

$$\, _1F_1(-n;1;-x)$$ Below are two figures: one with $x=101/100$ and $x=-101/100$. Sum[Binomial[n, k] x^k/k!, {k, 0, n}] ( Hypergeometric1F1[-n, 1, -x] ) Plot[Hypergeometric1F1[-n, 1, -x] /. {x -> 101/100}, {n, 10, 1000}, AxesLabel -> {"n", "Hypergeometric1F1[-n,1,-x]"}] Finally the limits for those two values of $x$ son los siguientes:

Answer 3

$$\sum_{k=0}^n \binom{n}{k} \frac{x^k}{k!}=L_n(-x)$ $ donde aparece el polinomio de Laguerre.

Como JimB respondió sobre la base de la función hipergeométrica confluente de Kummer, $x=1$ $n\to \infty$, el límite es de $\infty$ mientras que para $x=-1$ y $n\to \infty$, el límite es $0$.