integral del logaritmo y función racional

Question

Me pregunto cómo puedo evaluar esta integral usando métodos reales:

\begin{equation*} \int_{0}^{\infty}\frac{\log x}{1+x^{2}}dx. \end{ecuación*}

Intenté usar las series de mclaurin de$\log x$ pero realmente no sé cómo proceder más adelante e integrarlas por partes usando la sustitución trigonométrica, pero tengo un lío. Gracias por leer.

Answer 1

Puede escribir $$ \begin{align} \int_{0}^{\infty}\frac{\log x}{1+x^{2}}dx&=\int_{0}^{1}\frac{\log x}{1+x^{2}}dx+\int_{1}^{\infty}\frac{\log x}{1+x^{2}}dx\\\\ &=\int_{0}^{1}\frac{\log x}{1+x^{2}}dx-\int_{1}^{\infty}\frac{\log (1/x)}{1+\frac1{x^2}}\frac{dx}{x^2}\\\\ &=\int_{0}^{1}\frac{\log x}{1+x^{2}}dx-\int_{1}^{\infty}\frac{\log (1/x)}{1+\frac1{x^2}}\frac{dx}{x^2}\\\\ &=\int_{0}^{1}\frac{\log x}{1+x^{2}}dx-\int_{0}^{1}\frac{\log u}{1+u^{2}}du\quad (u=1/x)\\\\ &=0. \end {align} $$

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Configurando$\displaystyle u=\frac1x$, que es$\displaystyle x=\frac1u$ obtenemos$\displaystyle dx=-\frac{du}{u^2}$,$\displaystyle \log x=-\log u$,$1 \mapsto 1,\,\infty \mapsto 0$, luego $$ \ color {blue} {\ int_ {1} ^ { \ infty} \ frac {\ log x} {1 + x ^ {2}} dx = \ int_ {1} ^ {0} \ frac {- \ log u} {1+ \ frac1 {u ^ {2}} } \ left (- \ frac {du} {u ^ 2} \ right) = \ int_ {1} ^ {0} \ frac {\ log u} {1 + u ^ {2}} du = - \ int_ { 0} ^ {1} \ frac {\ log u} {1 + u ^ {2}} du.} $$

Answer 2

No es necesario dividir la integral. Simplemente efectúe la sustitución$x=1/y$ para que$dx=-dy/y^2$ y los límites de integración se inviertan. Por lo tanto, tenemos

$$ \begin{align} I&=\int_0^{\infty}\frac{\log x}{1+x^2}dx\\\\ &=\int_{\infty}^0 \frac{\log (1/y)}{1+y^{-2}}\frac{-dy}{y^2}\\\\\ &=-\int_{\infty}^0 \frac{\log (1/y)}{y^2+1}dy\\\\ &=\int_{0}^{\infty} \frac{\log (1/y)}{y^2+1}dy=\\\\ &-\int_{0}^{\infty} \frac{\log y}{y^2+1}dy\\\\ &=-I \end {align} $$

Por lo tanto,$I=-I$ que implica que$I=0$.