¿Por qué es Lebesgue de integración más adecuado para la convergencia de los axiomas?

Question

Estoy tratando de entender integración de Lebesgue aquí. Aquí, básicamente, hacer de la igualdad de divisiones en el eje y en lugar de las divisiones en el eje x que Riemann. Entiendo que las pruebas de los teoremas límite como el MCT y el DCT, pero no veo cómo una idea simple como dividir el eje conduce a esos maravillosos teoremas, que Riemann no es susceptible a la.

Hay una manera fácil de entender por qué la integración de Lebesgue es propicio para el límite de teoremas mientras Riemann no? Esto es teniendo en cuenta su intuitiva explicación de la creación de tiras iguales a lo largo de un eje y la adición de las áreas.

Answer 1

Este es un seguimiento de Michael Greinecker la respuesta. No veo el problema está relacionado con el uniforme de particiones en absoluto; no hay ningún requisito en la definición de integral que nada tiene que ser dividido de manera uniforme.

La integral de Lebesgue de un no-negativo medibles función de $f$ se define como el supremum $S_f$ de las "áreas" de la no-negativo "Lebesgue simple" de las funciones que están delimitadas por $f$ (el supremum puede ser $\infty$). Estas funciones se definen en Michael Greinecker del post: son combinaciones lineales finitas de funciones características de los conjuntos medibles. El supremum $S_f$ está bien definido para cada no-negativo medibles función. Las pruebas de muchos de los teoremas de convergencia venido a mostrar que otro límite que las operaciones pueden ser intercambiados (conmutado) con este supremum operación. Tenga en cuenta que la definición de la integral de Lebesgue enunciado de esta manera no es acerca de las particiones en absoluto: es sólo acerca de cómo es el área que puede caber debajo de la gráfica de una no-negativo medibles función.

La extensión de la integral de Lebesgue general (no necesariamente no negativo) funciones medibles es la rutina, la división de la función en positivo y negativo de las piezas que se maneja de manera independiente.

Por otro lado, la integral de Riemann se define de una manera mucho más restrictiva. A fin de determinar si una integral de Riemann de una no-negativo medibles función de $f$ existe, no es suficiente para mirar las integrales de no negativo "de Riemann simple" de las funciones que están delimitadas por $f$. Estas funciones son combinaciones lineales finitas de funciones características de los intervalos, como Michael Greinecker dice. Por ejemplo, este supremum está perfectamente definido para $f = 1_\mathbb{Q}$, e igual a 0, debido a que todos los no-negativo de la constante de la función en un intervalo que está delimitado por debajo de $1_\mathbb{Q}$ debe ser idénticamente cero en el intervalo. Pero $1_\mathbb{Q}$ es un famoso ejemplo de una función que no es Riemann integrable. El problema, claro, es que la definición de la integral de Riemann requiere más que sólo la convergencia de las que supremum.

Lo que demuestra que un no-negativo de la función es Riemann integrable requiere más que mostrar que un particular supremum existe, y esto hace que los correspondientes problemas en la demostración de teoremas límite para la integración de Riemann. Por otro lado, la integral de Lebesgue existe para cada medibles no negativas de la función (puede ser $\infty$), por lo que este problema simplemente no existe en la configuración de la integración de Lebesgue. Hay un paso adicional en la demostración de un teorema del límite para la integración de Riemann, y a veces este paso es insuperable.

Hay un teorema que una limitada función en un circuito cerrado delimitado intervalo es Riemann integrable si y sólo si es Lebesgue integrable y es continua en casi todas partes en el intervalo. Esto demuestra que, en retrospectiva, una intuición de por qué el límite de teoremas debe fallar en el caso de Riemann: porque "la continuidad en casi todas partes" no es preservada por el tipo de límite de operaciones que se consideran en estos teoremas. Por ejemplo, $1_\mathbb{Q}$ es un pointwise límite de un aumento de la secuencia de funciones de $(f_i)$ cada uno de los cuales es continua en casi todas partes, como se describe por Michael Greinecker. Desde pointwise límites de no respetar "casi en todas partes de la continuidad", no será posible demostrar que Riemann integración actúa bien con respecto a estos límites. En la no-caso negativo, integración de Lebesgue sólo requiere que la función de límite tiene que ser medible, y la mensurabilidad se conservan bajo el tipo de límites que se consideran.

P. S. El uso de la extensión de la línea real $[-\infty,\infty]$ en el Lebesgue, pero normalmente no en la de Riemann, es otro menor de edad causa de la dificultad en la definición de la integral de configuración. Y, como de costumbre, no puede haber confusión ya que en el sentido de Lebesgue "integrar" significa "el que tiene un número finito integral" en lugar de "la integral de Lebesgue existe". Ninguno de estos llega al corazón de la cuestión, que es que todos los no-negativo medibles función tiene una integral en el sentido de Lebesgue, pero esta falla en el sentido de Riemann.

Answer 2

Esto es esencialmente una elaboración sobre un punto de hecho en los comentarios. En tanto Lebesgue y Riemann, la integración, la integral definida de funciones simples hecho de "bloques" y luego se amplió para más general de las funciones de una operación limitante. La diferencia es realmente en el nivel de los bloques. Los bloques de integración de Riemann son propias de los rectángulos, la base es un intervalo. En función de la forma, de un rectángulo de altura $1$ puede ser escrito como $1_{[a,b]}$. Las funciones simples son combinaciones lineales de los bloques. En Lebesgue integración, la base no puede ser un intervalo, pero una arbitraria mensurables, un bloque tiene la forma $1_A$ $A$ ser un poco de un conjunto medible. Las funciones simples son de nuevo las combinaciones lineales de los bloques. La diferencia entre estas integrales ya se pueden ver cuando lloking en que las funciones son simples.

$1_\mathbb{Q}$ es una simple función en la configuración de Lebesgue de integración, ya que $\mathbb{Q}$ es un subconjunto medible de $\mathbb{R}$. Pero $\mathbb{Q}$ no contiene adecuada intervalo. Pero $\mathbb{Q}$ es contable, por lo que se puede escribir como $\mathbb{Q}=\{q_1,q_2,\ldots\}$. Deje $f_n=1_{\{q_1,\ldots,q_n\}}$ todos los $n$. Cada una de las $f_n$ es una función simple para ambos Lebesgue y la integración de Riemann. Pero el pointwise límite de la $f_n$$1_\mathbb{Q}$, una simple función para la integración de Lebesgue, pero una función que no puede ser bien aproximada por funciones simples para la integración de Riemann.

Answer 3

Bien Riemann integral divide el dominio en una partición con un punto de $\xi_i \in [t_i,t_{i+1}]$ y elige $f(\xi_i)\in f([t_i,t_{i+1}])$ como "buena" representante de los valores en $f([t_i,t_{i+1}])$. No está mal si su función es continua o "casi" continua.

$RS(f)=\sum_{i}f(\xi_i)m([t_i,t_{i+1}])=\sum_{i}f(\xi_i)(t_{i+1}-t_{i})$

Sin embargo Lebesgue la integral divide la imagen $(f([a,b]))\subset\cup (x_i,x_{i+1}]$ en una partición de pequeño intervalo y elige un punto medio $\tau_i$ y evalúa

$LS (f)=\sum_{i}\tau_i m(f^{-1}(x_i,x_{i+1}])$.

Aquí usted necesita, usted solo necesita que $f$ es la medida que es el conjunto de es $f^{-1}(x_i,x_{i+1}]$ es Lebesgue medible y una hipótesis de finito integral para$f^+$$f^-$.

Las ventajas son muchas, como $L^1$ que es un espacio de Banach, es decir, el límite de funciones integrables en la integral de la norma es aún integrable, la pointwise limite todavía es integrable, considerado la hipótesis de limitación!

Answer 4

El resumen de la integral puede ser definido de una manera muy simple. Dividir el dominio en finito que no se solapan subdivisiones, tomar Inf{f(x)} para cada subdivisión, se multiplica con la "medida" de esta subdivisión, y la suma de todos estos multiplicands. A continuación, tomar Sup{sumas posibles de tales finito subdivisiones), y se obtiene una integral. El momento clave es entender lo que la "medida" significa, y esto es lo que el Lebesgue teoría se ocupa de: simplemente dice que las subdivisiones deben ser medibles, y la función deben ser medibles demasiado, y por lo tanto obtener la integral de Lebesgue. En caso de integrabilidad de Riemann este enfoque abstracto conduce simplemente para reducir la integral de Darboux, y una parte Superior de Darboux integral, además, deben ser calculados, y los dos Darboux integrales deben ser iguales. Así vemos que cada Riemann integrable función es Lebesgue integrable.

La respuesta es: porque el Lebesgue integrabilidad es mucho menos restrictiva que la integrabilidad de Riemann, y los detalles se describen en las respuestas anteriores.