Lugar de las líneas tangentes a una curva suave de grado $d$ y el género $g$

Question

Supongamos que $C\subseteq\mathbb{P}^3$ es una curva suave de grado $d$ y el género $g$ (digamos que estamos trabajando sobre $\mathbb{C}$ ). Sea $T(C)$ sea el lugar de las líneas tangentes a $C$ . En otras palabras, $$T(C) = \{ L \in\mathbb{G}(1, 3) \ | \ L \text{ is tangent to C}\}$$ Aquí $\mathbb{G}(1, 3)$ es el Grassmanniano de las líneas en $\mathbb{P}^3$ . ¿Cómo puedo calcular la clase de este locus $[T(C)]$ en el anillo de Chow? Más concretamente, ¿qué hace $[T(C)]$ se ve como en $A^{3}(\mathbb{G}(1,3))$ ?

Intento: Sabemos que $[T(C)]=c \sigma_{1, 2}$ donde $\sigma_{1, 2}$ es el ciclo de Schubert correspondiente a las líneas de $\mathbb{P}^3$ que pasan por un punto $p$ y contenida en un plano $H$ (donde $p$ y $H$ son generales pero fijas). Así que sólo tenemos que averiguar la constante $c$ . Para ello, puede fijar una línea general $L_{0}$ y se cruzan con esta clase $[T(C)]$ con el ciclo de Schubert $\sigma_{1}$ (que consiste en todas las líneas que inciden en $L_0$ ). Así, $c$ es igual al número de líneas $L$ que es tangente a $C$ (en algún momento) tal que $L\cap L_{0}\neq\emptyset$ . ¿Cómo podemos determinar este número en función del grado $d$ y el género $g$ de la curva suave $C$ ?

Answer 1

Me encontré con el siguiente hermoso argumento en Notas sobre los grassmanianos y las variedades de Schubert de Chipalkatti (véase la página 27).

Dada una línea general $L\subseteq\mathbb{P}^3$ queremos calcular el número de líneas tangentes a $C$ que se cruzan $L$ . Elija una línea general $M$ (que estará sesgado a $L$ ) y considerar la proyección fuera de $L$ es decir, considerar el mapa $$f: C \longrightarrow \mathbb{P}^1 \cong M$$ dado por el envío de $x\in C$ a la intersección de $M$ y el avión $\overline{Lx}$ (generado por $L$ y $x$ ). Ahora aplicaremos el teorema de Riemann-Hurwitz.

¿Cuál es el grado de $f$ ? Dado un punto general $y\in M$ es fácil ver que $$f^{-1}(y) = \{x\in X: x \in \overline{Ly}\cap C\}$$ que consiste en $d$ puntos distintos (donde $d$ es el grado de $C$ ), porque $y\in M$ era general. Además, como $L$ y $M$ son generales, los puntos de ramificación $f$ tendrá grado $1$ (es decir, puntos de ramificación simples). Los puntos de ramificación de $f$ son exactamente esos puntos $x\in C$ tal que $L$ se encuentra con la línea tangente $\ell_{x}$ a $C$ en $x$ . Así que Riemann-Hurwitz nos dice $$2g - 2 = d(2\cdot 0 - 2)+\text{# ramification points}$$ Por lo tanto, el número de líneas tangentes que se encuentran $L$ es precisamente: $$2g + 2d - 2 = 2(g+d-1)$$ Concluimos que $$[T(C)] = 2(g+d-1) \sigma_{1,2}$$ en el anillo de Chow de $\mathbb{G}(1, 3)$ .