Resolver

Question

Por favor, ayúdame a evaluar la integral:$\displaystyle {{\int_{-1}^{\infty }{\left( \frac{{{x}^{4}}}{1+{{x}^{6}}} \right)}}^{2}}dx$

Gracias.

Answer 1

Observe que: $$x^8 = (x^6 + 1)x^2 - x^2$ $ Para que su integrando tome la forma:$$ \int\frac{x^2}{1+x^6}dx - \int\frac{x^2}{(1+x^6)^2}dx Ahora sustituya$u = x^3, du = 3 x^2 dx$: $$\int\frac{1}{3(1+u^2)}du - \int\frac{1}{3(1+u^2)^2}du$ $ La primera integral es un múltiplo de$\arctan(u)$, y el segundo se puede resolver dividiéndolo de nuevo en dos partes:$$ \int\frac{1}{3(1+u^2)^2}du = \int\frac{1}{3(1+u^2)}du - \int\frac{u^2}{3(1+u^2)^2}du Creo que entiendes la idea ...

Answer 2

Pruebe sustituciones de la forma$u = x^k$, donde$k$ debe dividir el exponente 6 y trabajar en cada una de ellas. Al menos uno de estos se verá mucho más familiar. Luego trabaja en eso, usando los trucos habituales.

Answer 3

Con$x = u^{1/3}$ obtenemos

$$\ int \ left (x ^ {4} \ over 1 + x ^ {6} \ right) ^ {2} \, {\ rm d} x = {1 \ over 3} \ int {u ^ {2 } \ over \ left (1 + u ^ {2} \ right) ^ {2}} \, {\ rm d} u$$

Establecer$u = \tan\left(\theta\right)$

$$\begin{align} {1 \over 3}\int{\tan^{2}\left(\theta\right) \over \sec^{4}\left(\theta\right)}\, \sec^{2}\left(\theta\right)\,{\rm d}\theta &= {1 \over 3}\int\sin^{2}\left(\theta\right)\,{\rm d}\theta = {1 \over 3}\int{1 - \cos\left(2\theta\right) \over 2}\,{\rm d}\theta \\&= {1 \over 6}\,\theta - {1 \over 12}\,\sin\left(2\theta\right) = {1 \over 6}\,\theta - {1 \over 6}\,{\tan\left(\theta\right)\over \tan^{2}\left(\theta\right) + 1} \\&= {1 \over 6}\left\lbrack \arctan\left(u\right) - {u \over u^{2} + 1} \right\rbrack = {1 \over 6}\left\lbrack \arctan\left(x^{3}\right) - {x^{3} \over x^{6} + 1} \right\rbrack \end{align}$$

Answer 4

Aquí hay un resultado de Maple para una integral indefinida. Logré obtener la forma más compacta

ps

El resultado final de la integral definida por arce es

ps