Cuenta polinomios irreducibles sobre campos finitos

Question

Cómo muchos de los polinomios irreducibles en $Z_2[x]$ grado $3$?

He discutido esto con mi amigo antes y nos encontramos con que $x^3 + x^2 + 1$ $x^3+x+1$ se dijeron los dos polinomios que irreducible. Llegamos a este el abordaje que los polinomios $p(x) = ax^3+bx^2+cx+d$ debe satisfacer $a\ne 0$ y más tarde $d \neq 0$ e aquí sólo necesitamos tomar algunos casos, el valor de $b$$c$. ¿Tiene usted idea para resolver este problema claramente sin tener que adivinar? Me temo que habrá un nuevo problema pidiendo polinomios cuyo grado es mayor que esta y aquí voy a estar atascado.

Answer 1

No hay un método general para contar irreductible polynonials de un cierto grado con coeficientes en cualquier campo finito. Creo que la primera sugerencia que usted puede averiguar este método ya por sí mismo, pero me dejaron una segunda pista y una completa solución para su problema en particular) sólo en caso de que.

Sugerencia: usted puede contar el número de reducible polinomios de grado tres y el número total de polynonials de grado tres. La diferencia le da el número de polinomios irreducibles de grado tres.

Además sugerencia: si un polinomio de grado 3 factores, lo hace como 3 factores lineales o como 1 lineal y factor de 1 polinomio irreducible de grado 2. Usted puede contar el número de polinomios irreducibles de grado 2 en el mismo camino: el recuento de la reducible, que son sólo el producto de dos factores lineales.

Solución:

Hay 3 reducible polinomios de grado 2, es decir,$x^2$, $x(x+1)$ y $(x+1)^2$. En total hay 4 polinomios de grado 2, por lo que sólo hay una irreductible polynomail de grado 2.

Hay 4 polinomios de grado 3 que el factor 3 lineal de los polinomios, es decir,$x^3$, $x^2(x+1)$, $x(x+1)^2$ y $(x+1)^3$.

Hay 2 polinomios de grado 3 que el factor lineal factor de veces que un irreducibles de grado 2 polinomio, es decir, $xf(x)$ $(x+1)f(x)$ donde $f(x)$ es el único polinomio irreducible de grado 2.

En total se han encontrado 6 reducible polinomios de grado 3. Hay $2^3=8$ polinomios de grado 3. Por lo tanto, sólo hay 2 polinomios irreducibles de grado 3 en $\mathbb{Z}_2[x]$.

Answer 2

Hasta el isomorfismo no es sólo un campo con $8$ elementos.

Si $f(x)$ tiene el grado $3$ y es irreductible, tome un campo de ampliación $F$ $\mathbb{Z}_2$ donde $f$ tiene una raíz. Por la declaración anterior, todas las raíces de $f$ pertenecen a $F$. Por la fórmula de la dimensión, $F$ no puede contener elementos de grado $2$$\mathbb{Z}_2$. Por lo tanto, hay exactamente dos (monic) polinomios irreducibles de grado $3$, debido a que el conjunto de $F\setminus\mathbb{Z}_2$ tiene seis elementos y la fijación de uno de ellos se identifica las otras dos raíces de su polinomio mínimo.

Por razones similares, sólo existe un polinomio irreducible de grado $2$.

Para el grado de $4$ es un poco más complicado, pero podemos partición de la $16$ elemento de campo en dos elementos de grado $1$, dos elementos de grado $2$, e $12$ elementos de grado $4$. Por lo tanto los polinomios irreducibles de grado $4$ son tres.

Grado $5$ es simple nuevo (ya $5$ es primo): el número de polinomios irreducibles es $$ \frac{2^5-2}{5}=6 $$