Subgrupos abelianos normales con índices relativamente primos

Question

Supongamos que A, B son subgrupos abelianos normales de algún grupo finito G. Sea [G:A]=m, [G:B]=n, donde gcd(m,n)=1.

¿Puede G ser no abeliano?

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He intentado demostrar que G debe ser abeliano, pero estoy empezando a pensar que esto no es necesariamente cierto.

Puedo demostrar que |G|=|AB|=mnq, |A∩B|=q donde q es algún entero positivo. También puedo demostrar que hay casos en los que q no es igual a 1 (Sea G=Z2xZ3xZ4) (si q=1, AxB sería entonces isomorfo a AB, y entonces G sería abeliano).

Answer 1

Esto desarrolla la solución de Derek en los comentarios. Si $[G:A]$ y $[G:B]$ son relativamente primos, entonces $[G:AB]$ es $1$ ya que divide ambos índices, por lo que $G=AB$ . Además, los conmutadores de normal los subgrupos son distributiva por lo que calculamos el subgrupo derivado de $G$ como

$$G'=[G,G]=[AB,AB]=[A,A][A,B][B,A][B,B]=[A,B].$$

Desde $A,B\triangleleft G$ son normales, $[A,B]\le A\cap B$ . Desde $A,B$ son ambos abelianos y $G=AB$ podemos decir que la intersección $A\cap B\le Z(G)$ es central. Por lo tanto, $[G',G]=1$ y $G$ es nilpotente (de clase $\le2$ ).

Un grupo finito es nilpotente si y sólo si es un producto directo de su Sylow $p$ -subgrupos. Cada subgrupo de Sylow debe estar contenido en uno de $A$ o $B$ debido a sus índices coprimos, en cuyo caso todo subgrupo Sylow es abeliano. Por tanto, $G$ es abeliano ya que es ( $\cong$ ) un producto directo de grupos abelianos.