Demostrar que el siguiente es un tensor cero.

Question

Me piden demostrar que el ideal de $I=(x,y)$ $R=k[x,y]$ no es un plano R-módulo.

Mi enfoque fue el uso de la secuencia exacta $$0\rightarrow I \to R \to R/I \to 0$$ to induce a non injective map $$I\otimes I\to R\otimes I$$ because the element $x\otimes y-y\otimes x$ is sent to $0$ por la inclusión.

Pero necesito mostrar que dicho elemento no es cero en el dominio. Mi intuitiva, es que tal elemento es distinto de cero, porque en $I\otimes I$ I no se me permite mover $x$ o $y$ "dentro" del tensor debido a $1\notin I$. Pero no puedo formalizar correctamente. Entonces, ¿cómo probar que el tensor no es cero?

Answer 1

Podría ser más fácil de acercarse a este problema de la siguiente manera: se tiene la siguiente resolución libre de $I$:

$$0 \to R \to R \oplus R \to I \to 0,$$ where the first map is given by $1 \mapsto (-y,x)$ and the second map is given by $(1,0) \mapsto x, (0,1) \mapsto y$.

Después de tensoring con $R/I$ obtenemos la siguiente secuencia exacta:

$$0 \to Tor_1(I,R/I) \to R/I \to R/I \oplus R/I \to I/I^2 \to 0$$

El mapa de $R/I \to R/I \oplus R/I$ está dado por $1 \mapsto (-y,x)=0 \in R/I \oplus R/I$, por lo tanto, esta es la cero mapa. Así que podemos deducir $Tor_1(I,R/I) \cong R/I$, en particular, $I$ no es plana.

Además podemos deducir que el núcleo de su mapa (ya que este kernel es, precisamente,$Tor_1(I,R/I)$) es generado por un elemento, que es aniquilada por $I$. Esto es sólo el elemento $x \otimes y - y \otimes x$.