Independencia algebraica y dimensión de una variedad

Question

Un conjunto de polinomios $\{f_1,\ldots,f_m\}$ en $k[x_1,\ldots,x_n]$ son algebraicamente independiente sobre $k$ si para todos los polinomios $p \in k[y_1,\ldots,y_m]$ , $p(f_1,\ldots,f_m) = 0$ implica que $p = 0$ .

En álgebra lineal, la dimensión de un subespacio de $k^n$ definido por $m$ ecuaciones linealmente independientes es $n - m$ . ¿Es cierta la afirmación análoga en geometría algebraica: que la dimensión de una variedad en $k^n$ definido por $m$ polinomios algebraicamente independientes es $n - m$ ?

Gracias.

Answer 1

Una definición de dimensión para una variedad algebraica es el grado de trascendencia de su campo de funciones (que, para una variedad afín, es el campo de fracciones de su anillo de coordenadas). Intuitivamente, cada polinomio que se utiliza para definir una variedad en un espacio ambiental n-dimensional reduce la dimensión en 1, pero como ilustra el comentario de YACP más arriba, esto no siempre es así, incluso si los polinomios son algebraicamente independientes.