Intuición geométrica detrás de convergencia de la serie de Fourier

Question

He estado tratando de averiguar la mejor manera de entender por qué la serie de Fourier converge, y es un poco vergonzoso, pero yo no sé ni una rigurosa prueba. Por favor alguien puede ayudar me puso en el camino correcto para pensar acerca de estos temas en la forma correcta? Estoy especialmente interesado cualquier geométricas maneras de pensar acerca de la convergencia del problema (algo que supongo que aprovecha el hecho de que cada componente $e^{in\theta}$ corresponde a algún punto a lo largo del círculo unidad).

Gracias!

Answer 1

Yo no sé acerca de una interpretación geométrica, pero aquí es un breve esbozo de una prueba. En primer lugar, debemos ser precisos acerca de lo que entendemos por "convergencia". En la ingenua sentido, la serie de Fourier no siempre convergen, es decir, pointwise. (Si cambia el valor de una función en un solo punto, la serie de Fourier se mantiene sin cambios.) El sentido en que lo hacen, siempre convergen en el espacio de Hilbert $L^2([0, 1])$, lo que ha producto interior definido por $\langle f, g \rangle = \int_0^1 \overline{g(x)} f(x) dx$ la inducción de una norma, lo que induce a una métrica. En $L^2([0, 1])$ deje $X$ ser el subespacio generado por las funciones $e^{2\pi i nx}, n \in \mathbb{Z}$. Es bastante sencillo para verificar que las funciones $e^{2\pi i nx}$ son ortogonales y se han norma $1$; en general, creo que sobre esto en una representación de la teoría de la forma, como un caso especial de la ortogonalidad de las relaciones de los personajes.

A continuación, la declaración de que la serie de Fourier converge es equivalente a la afirmación de que $X$ es denso en $L^2([0, 1])$. Por qué? Dada una secuencia en $X$ convergente a un elemento de $L^2([0, 1])$ se pueden calcular los coeficientes de Fourier, que varían de forma continua en la secuencia y, por tanto, que converge a un límite. Que estos coeficientes representan en realidad el elemento de $L^2([0, 1])$ es un estándar de espacio de Hilbert argumento y usted debe tomar un curso en análisis funcional, si usted desea aprender este tipo de cosas a fondo.

Ahora, otra cosa que usted necesita saber acerca de $L^2([0, 1])$ es que el subespacio $Y$ que consta de todas las funciones de paso es denso en ella. (Si tiene problemas para creer en esto, primero convencer a ti mismo que $Y$ es denso en las funciones continuas en $[0, 1]$ y luego me creen que las funciones continuas son densos en $L^2([0, 1])$. De hecho, $L^2([0, 1])$ se puede definir como la realización de $C([0, 1])$ con respecto al $L^2$ norma.) Así que para mostrar que $X$ es densa, es suficiente para mostrar que el cierre de $X$ contiene $Y$. De hecho, es suficiente para mostrar que $X$ tiene como punto límite de una función de paso con un solo golpe, dicen

$$a(x) = \begin{cases} 0 \text{ if } 0 \le x \le \frac{1}{3}, \frac{2}{3} \le x \le 1 \\ 1 \text{ otherwise} \end{cases}$$

y a tomar las combinaciones lineales, traslaciones y dilataciones de este. En otras palabras, es suficiente para demostrar la convergencia de las ondas cuadradas. Pero uno puede hacer los cálculos directamente aquí. Hay una imagen estándar de mirar, y por supuesto, si alguna vez has escuchado una onda cuadrada usted debe creer que los ingenieros de audio, al menos, son perfectamente capaces de aproximación de ondas cuadradas, por senos y cosenos.

Answer 2

Ya que tu pregunta fue acerca de la geometría detrás de convergencia, voy a meter la cuchara con un muy geométrica manera de pensar acerca de estos conceptos. Sin embargo, como Qiaochu Yuan menciona, para hacerlo, primero debemos concretar en qué sentido nos referimos a la convergencia. Voy a hablar de los "tres grandes" tipos de convergencia: pointwise, uniforme y media de la plaza (también llamada $L^2$) convergencia.

Vamos a empezar con la definición de una noción de $error$ $f(x)$ e las $N$th parcial de la suma de su serie de Fourier, que se denota por a$F_N(x)$,$-\ell<x<\ell$. Definir la (absoluta) pointwise error, $p(x)$, por $$p(x)=|f(x)-F_N(x)|, \quad -\ell<x<\ell.$$ The geometry of the situation belies its name: $p(x)$ represents the point-by-point difference (or error) between $f(x)$ and $F_N(x)$.

Entonces, podemos definir los siguientes tres tipos de convergencia se basa en el comportamiento de $p(x)$$N\to\infty$.

• $F_N(x)$ converge pointwise a $f(x)$ $-\ell<x<\ell$ si $$p_N(x)\to 0 \text{ as } N\to\infty \text{ for each fixed }x\in(-\ell,\ell).$$
• $F_N(x)$ converge uniformemente a $f(x)$ $-\ell<x<\ell$ si $$\sup_{-\ell<x<\ell}p_N(x)\to 0 \text{ as } N\to\infty.$$
• $F_N(x)$ converge en la media de la plaza de o $L^2$ sentido a $f(x)$ $-\ell<x<\ell$ si $$\int_{-\ell}^\ell p_N^2(x)\,dx\to 0 \text{ as } N\to\infty.$$

Piense en cada una de estas en términos de lo que está sucediendo con el pointwise error como $N\to \infty$. La primera dice que en un fijo $x$, la diferencia entre el $f(x)$ $F_N(x)$ va a cero. Esto puede ocurrir con algunos $x$ en el intervalo y fallar para los demás. Por otro lado, la convergencia uniforme dice que el supremum de todos los pointwise errores tiende a cero. Por último, la media de cuadrados de error que dice que el área bajo $p^2(x)$ debe tender a cero, como se $N\to\infty$.

La primera es una muy local manera de medir el error (en un punto), mientras que los otros dos son global de las formas de medir el error (a través de la totalidad del intervalo).

Se puede formular en términos de las normas mediante el establecimiento de $$\|f-F_N\|_\infty:=\sup_{-\ell<x<\ell}|f(x)-F_N(x)|$$ Then, $F_N(x)\a f(x)$ uniformly on $-\ell<x<\ell$ provided $\|f-F_N\|_\infty\a 0$ as $N\to\infty$. (Esta es la razón por la que lo llamamos el uniforme de la norma!)

Por otro lado, si ponemos $$\|f-F_N\|_{L^2}:=\sqrt{\int_{-\ell}^\ell |f(x)-F_N(x)|^2\,dx},$$ then $F_N(x)\a f(x)$ in the $L^2$ sense on $-\ell<x<\ell$ provided $\|f-F_N\|_{L^2}\to 0$ as $N\to\infty$. (This is called the $L^2$ norm on $-\ell<x<\ell$.)

Para ilustrar este geométricamente, aquí es $f(x)=x^2$ (negro) y su transformada de Fourier senoidal de la serie $F_N(x)$ (azul) en $0<x<1$ $N=5,\dots,50$ y la correspondiente pointwise de error (rojo). Podemos ver esta serie converge pointwise pero no de manera uniforme en $0<x<1$. También puede obtener una idea de la $L^2$ convergencia por la concepción de la zona de debajo de la plaza de la curva de color rojo y viendo que tienden a cero también. Yo iba a publicar esa foto así, puesto que el área sombreada es tan fina que es difícil de ver.

Estas ilustraciones no son una prueba de las convergencias, sino simplemente una manera de interpretar geométricamente.

En aras de la exhaustividad, este es un ejemplo que hace converger de manera uniforme: la misma función y el intervalo como el anterior, sino $F_N(x)$ es la transformada de Fourier coseno de la serie.

Espero que ayude.

Answer 3

Usted puede escribir la suma parcial $S_n(x)$ integral $${1\over 2\pi}\int_{-\pi}^\pi D_n(t) f(x-t)dt,$$ donde el peso de la función o "kernel" $D_n(t)$ puede ser fácilmente calculado y graficado de una vez por todas. Se obtiene $$D_n(t)={\sin((n+1/2)t)\over \sin(t/2)}.$$ So $S_n(x)$ is an "average" of $f$-values from the neighborhood of $x$. The essential point is that $D_n(t)$ is heavily concentrated around $t=0$ and oscillates quickly far away from $0$.

Answer 4

Mi manera de ver las series de Fourier (especialmente el trigonométricas expansiones) simplemente dibujar la inicial del seno y del coseno líneas en el nivel macro y, a continuación, comenzamos a lidiar con las frecuencias más altas que corregir los detalles más pequeños.

Así, en el caso de una infinita suma, ir siempre sobre la corrección de un poco más en una escala más pequeña, y en el límite de punto de tener a su función original.

(Estoy bastante seguro de que no era claro al respecto, y que tengo que onda mis brazos a su alrededor, así que me he puesto este CW así que si alguien tiene una idea y piensa que puede aclarar será más fácil hacerlo).