Determinar algebraicamente cuando una función cúbica pasa por ciertos puntos y tiene un valor de $120$

Question

Encuentra algebraicamente dónde está la función polinómica cúbica que tiene ceros en $2, 3 -5$ y pasa por $(4, 36)$ tiene un valor de $120$ .

Sí, esta es una pregunta de mi libro de texto que no entiendo muy bien lo que pide. Es una pregunta de desigualdad. La respuesta del libro de texto es $x =-2, x =-3, x =5$ .

Intento escribir la ecuación como $f(x) = (x-2)(x-3)(x+5)$ . Entonces no estoy muy seguro de dónde ir desde allí ya que tengo $2$ $y$ -valores. Entonces, ¿alguien puede decirme cómo resolver esto desigualdad de funciones?

Answer 1

Quieres empezar con $(x-2)(x-3)(x+5)$ para asegurarse de que los ceros son correctos. Su grado de libertad adicional proviene del hecho de que $c(x-2)(x-3)(x+5)$ también tiene esas raíces para cualquier constante $c$ .

Si la función debe pasar por $(4,36)$ , entonces se quiere resolver $$ c(4-2)(4-3)(4+5) = 36 $$ para $c$ . Me sale $c = 2$ .

Su función está totalmente especificada ahora: $f(x) = 2(x-2)(x-3)(x+5)$ .

Para saber dónde tiene un valor de 120, hay que resolver $$ 120 = 2(x-2)(x-3)(x+5) $$ para $x$ . Dependiendo de las opciones que tengas a tu disposición, puedes hacerlo mediante una gráfica o poniendo la función igual a 0 y utilizando una combinación de pruebas de raíces racionales, división de polinomios y factorización.

Answer 2

Después de la respuesta de Austin Mohr, amplía la última ecuación $$2(x-2)(x-3)(x+5)-120 = 2 x^3-38 x-60$$

Por inspección $x=-2$ es una raíz. Por lo tanto, realiza la división larga y tendrás una ecuación cuadrática.

Estoy seguro de que puede tomar de aquí.