Familia de líneas$\sin\alpha x +\sin\beta y +\sin\gamma =0$

Question

Problema:

Si$\sin(\alpha + \beta)\sin(\alpha -\beta) =\sin\gamma (2\sin\beta +\sin\gamma), 0 < \alpha , \beta ,\gamma <\pi$, la familia de líneas$\sin\alpha x +\sin\beta y +\sin\gamma =0$ pasa a través de

(un) $(-1,1)$

(b)$(1,1)$

(c)$(1,-1)$

(d)$(-1,-1)$

Mi acercamiento :

$\sin(\alpha + \beta)\sin(\alpha -\beta) =\sin\gamma (2\sin\beta +\sin\gamma) $

$\Rightarrow \sin^2\alpha -\sin^2\beta = \sin\gamma (2\sin\beta +\sin\gamma) $

Mediante el uso $\sin(A+B) \sin(A-B) = \sin^2A -\sin^2B$

Pero no tengo ni idea de cómo seguir adelante ... por favor guía gracias ...

Answer 1

En reordenamiento, tenemos$$\sin^2\alpha=\sin^2\beta+2\sin\beta\sin\gamma+\sin^2\gamma=(\sin\beta+\sin\gamma)^2$ $

Como$0<\alpha,\beta,\gamma<\pi,$, todas las relaciones sinusoidales son$>0$

ps

Ahora usa $$\implies\sin\alpha=\sin\beta+\sin\gamma$