Una pregunta de Juan a Jesús

Question

Dos subgrupos H y K de un grupo G tienen órdenes de 12 y 30, respectivamente. ¿Cuál de las siguientes no podía ser el orden del subgrupo de G generado por H y K?

A. 30 B. 60 C. 120 D. 360 E. contable infinito

A es la respuesta porque H, con orden 12 que no 30, no puede ser un subgrupo de K.

¿Pero alguien me puede ayudar a construir un ejemplo concreto de E, el subgrupo generado por H y K, con orden de infinito contable?

Answer 1

Considerar el producto libre (grupo subproducto) $G* H$. Se define de la siguiente manera:

Si empezamos por considerar $G$ $H$ como conjuntos disjuntos, $G*H$ es el conjunto finito de palabras cuyas letras son los elementos de $G\cup H$ otros de sus elementos de identidad. La multiplicación del grupo está dada por simplemente escribiendo una palabra después de otra, y la palabra vacía es la identidad de este grupo. Lo que hemos construido hasta ahora es un grupo libre.

Ahora, para hacer las $G$ $H$ subgrupos de este grupo, nos mod a cabo por la relación dada por la multiplicación en $G$ y la multiplicación en la $H$. En otras palabras, si una palabra tiene una secuencia de letras que son todos los elementos de a $G$, se puede escribir como una sola letra en $G$, la carta que se obtiene calculando el producto (en $G$) de la secuencia de letras. Hacemos lo mismo para $H$.

Este grupo está contables desde el conjunto de todos finito de palabras en un conjunto finito de letras es contable. Es infinito porque tenemos palabras como $ghghghgh$ de la longitud arbitraria (aquí $g\in G$$h\in H$). Contiene copias de $G$ - esas palabras que constan sólo de letras en $G$ (y por lo tanto puede ser expresada con un solo elemento de $G$), y una copia de $H$ igualmente.

Answer 2

Para cualquier enteros $m\ge3$$n\ge2$, cualquier contables de grupo $F$ puede ser embebido en un $2$-grupo generador $G=\langle a,b\rangle$ donde $a$ orden $m$ $b$ orden $n$ [F. Levin, Factor de grupos de la modulares grupo, J. Londres Matemáticas. Soc. 43 (1968), 195-203; Teorema 2.1].

Deje $F$ ser cualquier countably infinita grupo. Si se aplica Levin de la construcción de la con $m=12$$n=30$, $G$ es un countably infinita grupo, $H=\langle a\rangle$ es un subgrupo de orden $12$, $K=\langle b\rangle$ es un subgrupo de orden $30$, e $E=\langle H,K\rangle=\langle a,b\rangle=G$.

El punto de publicar otra respuesta es que el ejemplo $E$ usted está pidiendo no sólo existe (como ya se ha demostrado), puede ser un "arbitrariamente grande" contables del grupo, en el sentido de que se puede hacer para contener cualquier contables de grupo que te gusta.

Answer 3

$\alpha=\frac{2\pi}{12}$ Y $\beta=\frac{2\pi}{30}$, que $H$ ser el subgrupo de $SO(3,\mathbb R)$ generados por $$\begin{pmatrix}\cos\alpha&\sin\alpha&0\ -\sin\alpha&\cos\alpha&0\ 0&0&1\end{pmatrix} $ y $K$ $$\begin{pmatrix}1&0&0\ 0&\cos\beta&\sin\beta\ 0&-\sin\beta&\cos\beta\end{pmatrix}. $$ Juntos generan un grupo que no está entre los pocos subgrupos finitos conocidos de $SO(3,\mathbb R)$. Por otra parte, como un grupo finitamente generado, no puede ser más grande que infinito numerable.