Se trata de una cuestión extremadamente interesante, con una complejidad debida a la extrema flexibilidad de los mapas de cociente $q: X \rightarrow X/\sim$ en comparación con los espacios de cobertura $p:\tilde Y \rightarrow Y$ . Una diferencia importante es la forma en que la construcción del espacio de cobertura da una relación sobre la estructura 1, el mapa $p$ añade estructura a $\tilde Y$ . En cambio, el mapa $q$ puede eliminar toda la estructura de $X$ o añadir toda la robustez que se desee.
La veta de mis ideas es capturar sobre qué subconjuntos del dominio el mapa cociente actúa como un mapa de cobertura. Una condición que da lugar a levantamientos muy triviales es la siguiente:
Dejemos que $A \subset X$ definido como $A =\{x \in X; \forall y \in X \,\, !(x \sim Y)\}$ . Este es el subconjunto exacto de $X$ tal que $q|_A (x) = x$ . Ahora bien, si una función $f:Y \rightarrow X/ \sim$ es tal que $f(Y) \subset q(A)$ podemos definir la elevación $\tilde f:Y \rightarrow X$ por lo que respecta a la imagen de $f$ como un subconjunto de $X$ .
Enseguida nos encontramos con problemas si queremos ampliar la imagen de $f$ en un punto de identificación de $X / \sim$ . Por un lado, la preimagen por $q$ de $f(Y)$ puede desconectarse bastante, destruyendo cualquier esperanza de continuidad.
Si nos limitamos a los subconjuntos $B \subset X/ \sim$ tal que para cada $ x \in B$ hay un barrio $U$ para lo cual $q^{-1}(U)$ es la unión disjunta de conjuntos abiertos con al menos uno homeomorfo a $U$ Aquí $q$ se comporta como un espacio de cobertura en esta vecindad y sigue $f(Y) \subset B$ , $f$ tiene una elevación si $f_*(\pi_1(Y)) \subset q_*(\pi_1(X))$ como si $q$ eran un mapa de cobertura.
Otra forma de ver supongo que sería restringir la relación para la que el cociente es un espacio de cobertura. Un ejemplo de esto, por supuesto, sería para una acción de grupo $G$ en $X$ y la relación $x \sim y \iff orb(x) = orb(y)$ donde $orb(x)$ denota la órbita de $x$ por la acción de $G$ . Entonces tenemos garantizado por un resultado clásico que el mapa $q:X \rightarrow X/ G$ es un mapa de cobertura.
