¿Qué es un álgebra? Y ¿qué es un unitario?

Question

En mis notas de la conferencia, aparece el siguiente texto:

"..Sabemos que si $(X,d)$ es un espacio métrico y $\mathbb K$ $\mathbb R$ o $\mathbb C$,$C(X,\mathbb K)$, que es el espacio de la función continua de$X$$\mathbb K$, equipado con la norma de la convergencia uniforme, es un unitario de álgebra.."

Nunca me llegó a través de la palabra álgebra.

¿Qué hace un "álgebra" significa en este contexto? Y ¿qué significa "unitaria álgebra"?

No se moleste con una explicación detallada o algo, solo me falta una $a$$b$$c$$d$.. lista de las condiciones que deben ser satisfechas por un espacio de funciones para ser llamado un álgebra, y ¿cuál es la condición adicional de que hace una unitaria. Sé que el término "álgebra" no debe ser meramente una descripción de ciertos espacios de funciones, se debe describir general de un espacio vectorial bajo ciertas condiciones; pero en la actualidad, sólo estoy interesado en lo que significa, en este contexto y cómo las condiciones que se expresan en términos de funciones para el propósito de la aplicación directa.

Además:

Cuando es un subespacio llamado "subalgebra"?

De nuevo, me puedo relacionar similares términos que contienen "sub" para adivinar que un subespacio se llama una subalgebra si es un álgebra por su propia (con la inducida por las operaciones desde el espacio inicial); pero necesito un $a$$b$$c$$d$.. lista de lo que hace un subespacio una subalgebra.

Muchas gracias.

Answer 1

Un álgebra $A$ sobre un campo $\mathbb{F}$ es como $\mathbb{C}$ para el campo $\mathbb{R}$.

Es un espacio vectorial $V$ $\mathbb{F}$ y un mapeo $\cdot : V \times V \rightarrow V$ lineal en ambos argumentos. Un ejemplo es $n \times n$ matrices, con $\cdot$ siendo la multiplicación de la matriz. Los números complejos ya he dicho. Los cuaterniones son un ejemplo.

Un álgebra a es unitario si tiene un $I$ tal que $x \cdot I = I \cdot x = x ,\forall x \in A$. El $I$ se llama unidad. Todos los ejemplos anteriores son unitarias. Pero si el producto operador se define de tal manera que se envía todo a $0$, entonces no es unitaria.

Un espacio de funciones continuas a un campo es claramente un álgebra porque es un espacio vectorial y el producto de la operación es simplemente la multiplicación de funciones, que es claramente lineal, tanto de izquierda y derecha.

Una subalgebra de un álgebra es un subespacio vectorial que es cerrado bajo la operación del producto.

Answer 2

Si $A$ es un anillo conmutativo, entonces (asociativa, unital) $A$-álgebra a es un anillo de $B$ con un anillo de morfismos $A\rightarrow B$ asignación de $A$ hasta el centro de la $B$. (Se entiende que $B$ está dotado con la restricción de escalares $A$-módulo de estructura). La central unitaria de requisito se refiere a la existencia de una identidad multiplicativa (tomo todos los anillos unital), así que esto está implícito en mi definición. Los morfismos $A\rightarrow B$ es el llamado estructural de morfismos. Una $A$-subalgebra de $B$ es un sub-anillo que contiene la imagen de la estructura de morfismos $A\rightarrow B$.