Longitud de volumen y la diagonal del cubo de Hilbert

Question

Aquí está algo de diversión que me dio piensa que hace un tiempo, y ahora que he hecho un poco de maduración matemáticamente tengo curiosidad para ver si mis reflexiones son legítimos.

Deje $H=[0,1] \times [0,\frac{1}{2}] \times [0,\frac{1}{3}] \times \cdots$ ser el cubo de Hilbert. ¿Cuáles son el volumen y la longitud de la diagonal de a $H$?

Si tratamos de calcular el volumen de una manera análoga a calcular el volumen de un cuadrado (2-cubo) o el ordinario del cubo (3-cubo), multiplicando el borde de longitudes, a continuación, $\text{Vol}(H)=1\cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3} \cdots$ parece ser 0 en el límite. Sin embargo, la costumbre medida de Lebesgue no tiene un análogo en $\mathbb{R}^\infty$. ¿Cómo podemos obtener una adecuada noción de volumen aquí?

Ahora vamos a llamar a la diagonal de $H$ la línea desde el punto de $(0,0,...)$ hasta el punto de $(1,\frac{1}{2}, \frac{1}{3}, ...)$. Entonces, si ampliamos la costumbre métrica Euclidiana obtenemos $\text{Length}(\text{Diag}(H))=\sqrt{\displaystyle\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2}} = \sqrt{\dfrac{\pi^2}{6}}=\dfrac{\pi \sqrt{6}}{6}$. Es este el correcto (o Una correcta/sentido) manera de pensar de esto? ¿Esto no es el diámetro de $H$ considera como un espacio métrico?

Answer 1

Hice el cálculo del diámetro del cubo de hilbert, también. Pero terminé con un resultado diferente:

ps

Esto debería ser cierto si mi definición del diam es correcta y si definimos el cubo de hilbert de la siguiente manera:$$\mathrm{diam}(H) = \sup_{x \in H, y \in H} d(x,y) =\sqrt{\sum_{k=1}^\infty |x_k - y_k|^2} = \sqrt{\sum_{k=1}^{\infty} (-\frac{1}{k} - \frac{1}{k})^2} = \pi \frac{\sqrt{6}}{3}$ $