Sin la ayuda de un equipo，cómo probar
$$ \frac{1}{13}<\frac{1}{2}\cdot \frac{3}{4}\cdot \frac{5}{6}\cdot \cdots \cdot \frac{99}{100}<\frac{1}{12} $$
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Ron Gordon
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Cuando se multiplica arriba y abajo en el producto por $2 \cdot 4 \cdot 6 \ldots 50$, el producto se convierte en
$$\frac{1}{2^{100}} \binom{100}{50} = \frac{1}{2^{100}} \frac{100!}{(50!)^2}$$
El Uso De Stirling:
$$n! \sim \sqrt{2 \pi n} n^n e^{-n} \left ( 1+ \frac{1}{12 n}\right )$$
para un gran $n$. Vamos a ver lo que significa: enchufe en esta aproximación a la binomial expresión anterior para $n=50$; el resultado es
$$\frac{1}{2^{100}} \binom{100}{50} \approx \frac{1}{\sqrt{50 \pi}} \left ( 1- \frac{1}{400}\right )$$
Tenga en cuenta que el producto que se acerca $\frac{1}{\sqrt{50 \pi}}$ es exacta a $1$ parte $400$. Ahora bien, es claro que $50 \pi \approx 157$ a dentro de ese margen de error. Como $157$ cae entre el$12^2=144$$13^2=169$, la afirmación es verdadera.
De otra forma, quizá más simple:
Deje $X = \frac{1}{2}\cdot \frac{3}{4}\cdot \frac{5}{6}\cdot \cdots \cdot \frac{99}{100}$
Debemos mostrarles a $\dfrac{1}{13} < X < \dfrac{1}{12}$, lo que equivale a mostrar el $144 < \dfrac{1}{X^2} < 169$, y vamos a proceder a ello.
Para el límite inferior, tenga en cuenta que tenemos para mostrar: $$ \frac{2^2}{1} \cdot \frac{4^2}{3^2}\cdot \frac{6^2}{5^2} \cdots \frac{100^2}{99^2} > 144$$
$$\Leftrightarrow \frac{2^2}{1 \cdot 3} \cdot \frac{4^2}{3 \cdot 5}\cdot \frac{6^2}{5 \cdot 7} \cdots \frac{100^2}{99 \cdot 101} > \frac{144}{101} $$
$$\Leftrightarrow \prod_{k=1}^{50} {\frac{(2k)^2}{(2k)^2-1}} > \frac{144}{101} $$
Ahora todos los factores en el lado izquierdo son más altos que los $1$, y convergen bastante rápido a $1$, por lo que tomar los tres primeros términos, tenemos $\dfrac{4}{3} \cdot \dfrac{16}{15} \cdot \dfrac{36}{35} = \dfrac {256}{175}$, con lo cual se comprueba fácilmente a ser mayor que $\dfrac{144}{101}$. Por lo tanto $X < \dfrac{1}{12}$ está establecido.
Por otra parte viz. $\dfrac{1}{X^2} < 169$ el enfoque es exactamente similar, usted debe obtener un equivalente a la desigualdad de la forma:
$$ \prod_{k=1}^{49} \frac{2k (2k+2)}{(2k+1)^2} < \frac{169}{200}$$
Del mismo modo, cada uno de los factores que ahora es de menos de $1$ y la convergencia es rápida. Así que tomando los tres primeros términos, tenemos $\dfrac{1}{X^2} < \dfrac{1024}{1225}$, lo que es comprobable menos de $\dfrac{169}{200} = 0.845$. Por lo tanto $\dfrac{1}{13} < X$ también está establecido.
