Subgrupo normal y álgebra de mentira

Question

Tengo un ejercicio de grupo de Lie como sigue: "Let $G,H$ ser subgrupo conectado cerrado de $GL_n(\mathbb{R})$ y $H$ ser subgrupo de $G$. Supongamos que $Lie(H)$ es un ideal de $Lie(G)$. Demostrar que $H$ es un subgrupo normal de $G$". Me han pegado para solucionar este problema. También no tengo ni idea para utilizar la conexión de $G$ y $H$. ¿Alguien me puede ayudar? ¡Muchas gracias!

Answer 1

Esto es esencialmente una aplicación de la Mentira subalgebra-subgrupo de correspondencia:

Deje $G$ ser una Mentira de un grupo con la Mentira de álgebra $\mathfrak{g}$. Supongamos que $\mathfrak{h}$ es una Mentira subalgebra de $\mathfrak{g}$. Entonces existe un único conectado inmerso Mentira subgrupo $H\subseteq G$ cuyo Mentira álgebra corresponde a $\mathfrak{h}$.

Se le da $H$ cerrado conectado Mentira subgrupo de la Mentira de grupo $G$. Elija $g\in G$, y deje $H' = gHg^{-1}$. A continuación, $H'$ es una Mentira grupo con el correspondiente Mentira álgebra $Lie(H')\subseteq Lie(G)$. Sin embargo, la suposición de que $Lie(H)$ es un ideal de a $Lie(G)$ dice exactamente eso $Lie(H') = Lie(H)$. Usted entonces tiene que $H$ $H'$ son dos conectados Mentira subgrupos de $G$ con la misma Mentira de álgebra. Por la unicidad en el teorema anterior, se deduce que el $H = H'$, y que, por ende, $H$ es normal.

Answer 2

Parece ser que hay una plena prueba contenida en el lema 0.1 aquí http://math.berkeley.edu/~ianagol/261A.F09/Simplegroups.pdf

He aquí el argumento:

Reclamo: Para $X \in \frak{g}$, $Y \in \frak{h}$, tenemos $e^Xe^Ye^{-X}\in H$.

Prueba de reclamación: Denotar por $exp$ el mapa exponencial $End(\frak{g}) \rightarrow $ $Aut(\frak{g}) $ (donde Aut y Final son el espacio vectorial automorfismos y endomorphisms) . Desde $\frak{h}$ es un ideal, $ad_X^n$ preserva $\frak{h}$ todos los $n \in \mathbb{N}$, y por lo tanto también lo hace $exp(ad_X)$. Por tanto, tenemos $$e^Xe^Ye^{-X}=e^{Ad_{e^X}(Y)}=e^{exp(ad_X)Y} \in e^{\frak{h}} $$

Esto establece la demanda.

Ahora bien, el hecho de que $G$ normaliza $H$ se deduce del hecho de que $$H= \bigcup_{n\in \mathbb{N}} (e^\frak{h})^n$$ $$G= \bigcup_{n \in \mathbb{N}}(e^\frak{g})^n$$ Since $G$ and $H$ están conectados.

En particular, esto no parece usar el hecho de que $G$ es un subgrupo cerrado de $GL(n, \mathbb{R})$, aunque esta es una hipótesis de lema 0.1. Tampoco es necesario incluso que $H$ ser cerrado en $G$.

Answer 3

Voy a dos teoremas que se pueden encontrar en la Mentira de los grupos y Algebraica del libro del grupo por Vinberg.

$Theorem:1$ A un homomorphism desde un dispositivo mentira del grupo H, en una mentira grupo G es se determina únicamente por la tangente álgebra homomorphism.

$Theorem:2$ Deje $f:H \rightarrow G$ donde se H está conectado.Si $G_1\subset G$ tal que $df(Lie(H))\subset Lie(G_1)$. A continuación,$f(H)\subset G_1$.

Vamos a tomar arbitrarias $g\in G$$a(g):x\rightarrow gxg^{-1}$. El diferencial de este mapa decir Ad(g) coincide con el adjunto de la representación de la mentira de álgebra por lo tanto, este mapa de la Mentira(H) Mentira(H). Por lo $gHg^{-1}\subset H$ para todos los g por lo tanto H es normal.// Usted puede encontrar todas las pruebas en el libro que he mencionado en el capítulo 1, sección 2, espero.