Cómo obtener un PDF a partir de una función característica

Question

Agradecería que alguien me explicara con un ejemplo sencillo cómo hallar la PDF de una variable aleatoria a partir de su función característica. Gracias.

Answer 1

Esto es una consecuencia de la fórmula de inversión de Levy (también conocida como teorema de inversión de Fourier). Si $\varphi$ es el CF de $X$ y $\int_{\mathbb{R}}|\varphi(\theta)|d\theta < \infty$ entonces $X$ es absolutamente continua con densidad $$ f(x)= \frac{1}{2\pi}\int_\mathbb{R}e^{-i\theta x}\varphi(\theta)d\theta. $$

(Aquí utilizamos la definición $\varphi(\theta) = E[e^{i\theta X}]$ Si no, el factor constante de la parte delantera podría ser diferente).

Una vez que conozcamos este resultado, es fácil calcular la densidad dada una FC, sólo hay que introducirla en la fórmula. Por ejemplo, introduzca $\varphi(\theta)= \exp(-\frac12 \theta^2)$ y compruebe que obtiene $f(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\exp(-\frac12 x^2)$ Este es el caso de $X \sim N(0,1)$ .