Factor $x^{80} - 1$ $F_3$

Question

Factor $x^{80} - 1$ $F_3$

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Esfuerzo

Factor $x^{80} - 1$ $F_3$

$$\begin{aligned} x^{40}-1&=(x^{20}+1)(x^{20}-1) \\&=(x^{20}+1)(x^{10}+1)(x^{10}-1 ) \\&=(x^{20}+1)(x^{10}+1)(x^{5}+1 )(x^{5}-1 ) \end{aligned} $$

since we are in $F_3$ , $(x^{20}+1),(x^{10}+1),(x^{5}+1 )$ are factorable by $(x-2)$ and $x^5-1$ by $x-1$

so $$x^5-1= (x-1)(x^4+x^3+x^2+x+1) $$ ¿qué equipo es decir que los factores de

(x + 1) * (x + 2) * (x^2 + 1) * (x^2 + x + 2) * (x^2 + 2*x + 2) * (x^4 +
x + 2) * (x^4 + 2*x + 2) * (x^4 + x^2 + 2) * (x^4 + x^2 + x + 1) * (x^4
+ x^2 + 2*x + 1) * (x^4 + 2*x^2 + 2) * (x^4 + x^3 + 2) * (x^4 + x^3 +
2*x + 1) * (x^4 + x^3 + x^2 + 1) * (x^4 + x^3 + x^2 + x + 1) * (x^4 +
x^3 + x^2 + 2*x + 2) * (x^4 + x^3 + 2*x^2 + 2*x + 2) * (x^4 + 2*x^3 + 2)
* (x^4 + 2*x^3 + x + 1) * (x^4 + 2*x^3 + x^2 + 1) * (x^4 + 2*x^3 + x^2 +
x + 2) * (x^4 + 2*x^3 + x^2 + 2*x + 1) * (x^4 + 2*x^3 + 2*x^2 + x + 2)

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Estado tratando de encontrar ejemplos. No veo los factores de cómo a uno le hipotéticamente encontrarlos. Creo que la búsqueda de ellos tiene un montón de trabajo para un ser humano. tal vez los factores de algo simple,hermosa y elegante, pero no parece ser el caso, a menos que me equivoque.

Answer 1

Tenga en cuenta que $x^{81}-x = x(x^{80}-1)$. $81 = 3^4$, entonces$x^{81}-x$ factores en todos los polinomios irreducibles de grado$1,2,4$ sobre$\mathbb{F}_3$. Entonces, podríamos hacer esto al enumerar los polinomios de grados$1,2,4$ y descubrir cuáles son irreductibles.