subconjuntos abiertos en grupos topológicos

Question

Estoy empezando a estudiar grupos topológicos, y noté que cada teorema solo en grupos topológicos es necesario utilizar la siguiente declaración:

Que $G$ es un Grupo topológico y U un subconjunto abierto de G, si $g\in G$, entonces el $gU$ es un subconjunto abierto de G.

No puedo probarlo, por favor alguien puede ayudarme por favor.

Gracias

Answer 1

De hecho, el mapa de $\varphi_g:G\to G:x\mapsto gx$ es un homeomorphism. Es claramente un bijection, ya $\varphi_g^{-1}=\varphi_{g^{-1}}$. A ver que es continua, vamos a $U\subseteq G$ ser abierto. El grupo de operación es continua, por lo $V=\{\langle x,y\rangle\in G\times G:xy\in U\}$ está abierto en $G\times G$. Deje $\pi:G\times G\to G:\langle x,y\rangle\mapsto y$, y vamos a $G_g=\{g\}\times G$; $\pi\upharpoonright G_g:G_g\to G$ es un homeomorphism, y $V\cap G_g$ está abierto en $G_g$, lo $\pi[V\cap G_g]$ está abierto en $G$. Pero

$$\pi[V\cap G_g]=\{x\in G:\langle g,x\rangle\in V\}=\{x\in G:gx\in U\}=\varphi_g^{-1}[U]\;,$$

por lo $\varphi_g^{-1}[U]$ está abierto en $G$, e $\varphi_g$ es continua. Desde $g$ fue arbitraria, se sigue inmediatamente que $\varphi_g^{-1}=\varphi_{g^{-1}}$ también es continua y, por tanto, que el $\varphi_g$ es un homeomorphism. En particular, entonces, $gU=\varphi_g[U]$ es abierta para todos los $g\in G$ y abrir $U\subseteq G$.

Answer 2

La multiplicación es continua, por lo que el mapa $g^{-1}:G\to G, u\mapsto g^{-1}u$ es continuo. Así la preimagen de un conjunto abierto $U\subset G$ está abierto, y la preimagen es igual a $gU$.

Esperanza que tengo derecho.