Solucionar $x^n+y^n = (x+y)^n$

Question

Encontrar todos los enteros positivos $n$ y los números reales $x$ $y$ satisfacción $x^n+y^n = (x+y)^n$.

Considerar en primer lugar el caso de que $n$ es incluso. Tenemos $x^{2k}+y^{2k} = \binom{2k}{0}x^{2k}+\binom{2k}{1}yx^{2k-1}+\cdots+\binom{2k}{2k}y^{2k}$. Esto puede ser simplificado para abajo $$\binom{2k}{1}yx^{2k-1}+\binom{2k}{2}y^2x^{2k-2}+\cdots+\binom{2k}{2k-1}xy^{2k-1} = 0 \implies$$ $$\binom{2k}{1}x^{2k}+\binom{2k}{2}yx^{2k-1}+\cdots+\binom{2k}{2k-1}y^{2k} = 0.$$

Del mismo modo podemos ecuaciones de forma si $n$ es incluso. La forma de los términos me recuerdan a las de los derivados, de modo que pueden ser útiles.

Answer 1

$y=0$ es una solución para cada $n>0$, por lo que podemos suponer $y\ne0$. Para $n=1$ la ecuación se satisface para cada par de números de $x$$y$; por lo tanto, podemos asumir $n>1$.

Si establecemos $x=ty$, la ecuación se convierte en $$ y^n(t^n+1)=y^n(t+1)^n $$ así podemos solucionar $t^n+1=(t+1)^n$.

Considere la función $f(t)=(t+1)^n-t^n-1$, lo que queremos encontrar los ceros de. Tenemos $$ f(t)=\sum_{k=1}^{n-1}\binom{n}{k}t^k $$ así $$ \lim_{t\to\infty}f(t)=\infty $$ mientras que $$ \lim_{t\to-\infty}f(t)=\begin{cases} -\infty & \text{if %#%#% is even}\\ \infty & \text{if %#%#% is odd} \end{casos} $$ Para la derivada $$ f'(t)=n((t+1)^{n-1}-t^{n-1}) $$ vemos que se desvanece para $$ \left(\frac{t+1}{t}\right)^{\!n-1}=1 $$

Si $n$ es incluso, $n$ es impar y la derivada no se anula. La función tiene un único cero.

Si $n$ es impar, la derivada se desvanece para$n-1$, $n$, que es el punto de mínimo absoluto. Desde $$ f(-1/2)=(1/2)^n-(-1/2)^n-1=\frac{1}{2^{n-1}}-1<0 $$ la función tiene dos ceros.

Tenga en cuenta que $t+1=-t$ por cada $t=-1/2$; si $f(0)=0$ es impar, $n>1$.

Resumiendo los hechos anteriores, tenemos que la ecuación de $n$$f(-1)=0$, tiene la trivial soluciones "$(x+y)^n=x^n+y^n$ o $n>1$". Si $x=0$ es extraño que la ecuación tiene también la solución de $y=0$.

No hay otras soluciones existen para $n$.