La pregunta es
Deje $( F_0, F_1, F_2,... )$ ser la secuencia de Fibonacci se define por $F_0=0,\, F_1=1, and F_{n+1}=F_n+F_{n-1}$, n mayor o igual a 1. Demostrar las siguientes identidades. $$\begin{bmatrix} 1 & 1\\ 1 & 0 \end{bmatrix}^n =\begin{bmatrix} F_{n+1} &F_n \\ F_n &F_{n-1} \end{bmatrix}$$ Esto es lo que he intentado.
Prueba: Caso Base: Si $n=1$ la fórmula dice $$\begin{bmatrix} 1 & 1\\ 1& 0 \end{bmatrix}^{1}=\begin{bmatrix} F_{1+1} & F_1\\ F_1 &F_0 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 1+0 & 1\\ 1 & 0 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 1 & 1\\ 1 & 0 \end{bmatrix}$$, que es cierto.
Inductivo Paso: Supongamos que la fórmula tiene por $n=k$ es decir, que $$\begin{bmatrix} 1 & 1\\ 1& 0 \end{bmatrix}^{k}=\begin{bmatrix} F_{k+1} &F_k\\ F_k &F_{k-1} \end{bmatrix}$$ es cierto.
Tenemos que demostrar que la fórmula tiene por $n=k+1$ que es $$\begin{bmatrix} 1 &1 \\ 1&0 \end{bmatrix}^{k+1}= \begin{bmatrix} F_{k+2} & F_{k+1} \\ F_{k+1}&F_k \end{bmatrix}$$ is true. Adding $\begin{bmatrix} 1 & 1\\ 1 & 0 \end{bmatrix}^{k+1}$ ambos lados dar $$\begin{bmatrix} 1 & 1\\ 1 & 0 \end{bmatrix}^k + \begin{bmatrix} 1 & 1\\ 1 & 0 \end{bmatrix}^{k+1}= \begin{bmatrix} F_{k+1} &F_k\\ F_k &F_{k-1} \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 1 & 1\\ 1 & 0 \end{bmatrix}^{k+1}$$ Esto es donde estoy atascado. A partir de aquí no sé cómo proceder. Por favor, hágamelo saber si estoy en la dirección correcta.
