no arquimédico en términos laicos

Question

He incursionado en el estudio infinitesimales de forma intermitente durante años... Robinson, Keisler, Bell ("Smooth Worlds"), etc., incluso un poco de teoría de categorías. Pero no soy un matemático y tiendo a saltar sobre mi cabeza (así que me disculpo por las grandes lagunas en mi formación informal).

El concepto en el que sigo dudando es el de campos no arquimédicos .

Entiendo bastante bien lo que son los campos - y entiendo la estructura algebraica y los conceptos de campo ordenado en los campos arquimédicos --- es el "no" -La parte arquimédica no la entiendo. Tengo problemas para visualizar esto. Bueno, un ejemplo de no arquimédicos son los infinitesimales, que tampoco son exactamente visualizables (probablemente un juego de palabras matemático).

¿Puede alguien dar un ejemplo o dos de una estructura no arquimediana, objeto, bestia - pero en de los profanos ¿términos? (Sí, he leído el material de la wiki).

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[Editar] Encontré estos útiles después de algunos comentarios recibidos:

Intuición detrás de "no arquimédico" -- dos sentidos de "no arquimédico".

Ejemplo de campo ordenado completo no arquimédico

Y esto ha sido un buen repaso (al menos para mí) de los ultrafiltros en este contexto: Motivación de un lego en análisis no estándar y límites generalizados

También es curioso por qué un editor ha eliminado la etiqueta Field-Theory que puse aquí. ¿Los campos no arquimédicos no se consideran parte de la teoría de campos? Si no es así, ¿dónde está la etiqueta de Teoría de Campos no arquimédica? :-P

Answer 1

La versión barata es esta: funciones racionales en una variable $x,$ donde una función se llama "positiva" si es finalmente positiva como $x$ va a $+\infty.$ Una función es mayor que otra si la diferencia es positiva.

En este campo, $\frac{1}{x}$ es menor que cualquier real positivo, pero también es positivo. Por lo tanto "infinitesimal"

NOTA: No he leído el material de la Wiki. Si desea detalles en algo que pretende ser un libro de texto, sugiero Hartshorne's Geometría: Euclides y más allá .

Answer 2

La ordenación lexicográfica de los puntos del plano $\mathbb{R}^2$ da un ejemplo sencillo de un grupo ordenado no arquimédico. En la ordenación lexicográfica, los movimientos ascendentes y descendentes (es decir, los cambios de $y$ ) son insignificantes (infinitesimales) en comparación con los movimientos de izquierda y derecha (es decir, los cambios en $x$ ).

Answer 3

Como veo que te dedicas a la evaluación de sistemas y no a la matemática pura técnica, me gustaría proponer a tu atención la aproximación de Efthemiou a los infinitesimales, que puede satisfacer tu petición de una definición lúdica.

La teoría atómica del cálculo por Costas Efthimiou

Por supuesto, has oído muchas veces que todos los objetos de este universo están hechos de moléculas que, a su vez, están hechas de átomos. Los átomos son las unidades más pequeñas de la materia, que antes se consideraban indivisibles. No le sorprende que le diga que mi reloj está hecho de átomos, que mi mano está hecha de átomos, etc. Pero puede sorprenderle que diga que toda la matemática que estudia los cambios continuos y suaves del mundo físico -es decir, toda la matemática que se basa en el cálculo- está hecha también de unas unidades indivisibles -los átomos matemáticos- que se llaman infinitesimales. Y de la misma manera que los átomos tienen reglas definidas de comportamiento que dictan cómo pueden combinarse para formar moléculas y objetos, los infinitesimales también obedecen reglas que dictan cómo pueden utilizarse para derivar toda la matemática. Mendeleyev descubrió el orden del universo físico, mientras que Newton y Leibnitz descubrieron el orden del pensamiento matemático. Dado que las matemáticas son el lenguaje (la herramienta) de la ciencia, entender el cálculo es esencial para entender la ciencia. Y sólo se puede entender el cálculo y su aplicación si se comprenden sus componentes básicos, los infinitesimales.