Detalles acerca de Caley ' s Grupo Teorema

Question

El teorema de Caley grupo afirma que cada grupo es isomorfo a un subgrupo de un grupo de la permutación. Estoy especialmente interesado en el caso de que el grupo es finito.

Mi pregunta:

Si G es un grupo con orden $n$, ¿cuál es el más pequeño número $k$, que es isomorfo a un subgrupo de la permutación grupo $G$ $S_k$? ¿Necesitamos $k=n$ en general, o es siempre suficiente para tomar el más pequeño número $k$ $n|k!$?

Answer 1

$S_m$ $m!$ elementos, pero es un subgrupo de $S_k$$k=m$. Así, no siempre se necesita $k=|G|$.

Por otro lado, vamos a $p$ ser un primo mayor que 2 (si $p=2$,$p=p!$). Observar que $\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$ es cíclico de orden $p$. Sin embargo, el más pequeño de $n$ tal que $S_n$ tiene un subgrupo cíclico de orden $p$ $n=p$ (porque se necesita un $p$-ciclo para obtener un elemento de orden $p$).

Edit: A la dirección de la pregunta en su comentario: sí, cada grupo finito $G$ es un subgrupo de $S_k$ donde $k=|G|$.

Answer 2

$D_8$ el diedro grupo de orden $8$ es un subgrupo de $S_8$ por el teorema de Cayley. Pero $D_8$ es también un subgrupo de $S_4$. Este ejemplo muestra que el teorema de Cayley no es la mejor obligado.

También se preguntan que es lo suficientemente $n | k! $ ? La respuesta es no. Por ejemplo, $6$ divide $4!$ pero $Z_6$ no es un subgrupo de $S_4$.

En genereal no se sabe que más pequeño $k$ tal que $G\leq S_k$.

Pero hay algo útil de los lemas, en algunos casos;

Lemma1: Vamos a $G$ ser simple grupo y $H$ ser un subgrupo de índice $n$. A continuación,$G\leq A_n$.

Lemma2: Vamos a $G$ grupo e $H$ ser un subgrupo de índice $n$ tal que $H$ no contiene ningún trivial normal subgrupo de $G$. A continuación,$G\leq S_n$.

Este trabajo está principalmente relacionado con su problema; enlace.

Answer 3

No estoy seguro si hay una teoría más amplia que abordar esta cuestión, pero ciertamente no necesitamos $k = n$ en general. Por ejemplo, es isomorfo al subgrupo $\mathbb{Z}/6\mathbb{Z}$ $\left$ $S_5$. Sin embargo, también hay casos en que se debe tomar $k \geq n$. Por ejemplo, puede ser demostrado que $Q_8$ no es isomorfo a cualquier subgrupo de $S_k$ para cualquier $k

Answer 4

Las otras respuestas muestran que $k=\vert G\vert$ puede ser necesario; deja que me llene en el argumento de que es siempre suficiente.

A ver que $G$ siempre es (isomorfo a) un subgrupo de $S_n$ - donde $n=\vert G\vert$ - podemos argumentar de la siguiente manera:

• En primer lugar, la lista de $G$$\{g_1, g_2, . . . , g_n\}$.

• Ahora, cada elemento de a $g\in G$ induce una permutación $\pi_g$ $\{1, . . . , n\}$ como sigue: $$\pi_g(i)=j\iff g\cdot g_i=g_j,$$ where $\cdot$ es el grupo de operación.

• Esto le da un inyectiva mapa de $G$ a $S_n$: $g\mapsto \pi_g$. Queda por mostrar que este mapa es un homomorphism; este es un buen ejercicio.