La estimación para el producto de números primos menor que n

Question

En este papel Erdős muestra una menor prueba de que uno de sus resultados indica que $$ s(n) = \prod_{p < n} p < 4^n$$ where the product is taken over all primes less than $n$. He also remarks that using the prime number theorem one can show $$ s(n) \sim e^n.$$

Puede alguien aquí probar este resultado? No parece sencillo para mí.

Uno (de crudo) intento que probé fue para considerar el producto $$\prod_{i=2}^n \frac{i}{\log{i}} = n!\prod_{i=2}^n \frac{1}{\log{i}}$$ which I do not know how to estimate, not to mention that I would then have to argue that it is an asymptotic estimate for $s(n).$

Hay una manera simple de mostrar el resultado en $s(n)$ usando el teorema de los números primos?

Answer 1

La razón por la suma

$$ \sum_{i = 2}^{n} \frac{i}{\log i} $$

funciona como una estimación de la suma de todos los números primos hasta el $n$ es debido a que, a grandes rasgos, uno en $\log N$ números de tamaño en torno a $N$ son primos. Usted es la estimación de

La suma de todos los números primos de un tamaño determinado

con la aproximación

La suma de todos los números de ese tamaño, multiplicado por (una estimación de) la proporción de ellos que son los números primos

(tenga en cuenta que este método se basa en el hecho de que el promedio de los números primos de tamaño en torno a $N$ es aproximadamente el mismo que el de la media de todos los números de tamaño de alrededor de $N$... específicamente, que el promedio es de alrededor de $N$)

El método análogo para los productos no está dividiendo a cabo por $\log i$: es tomar la $\log i$-ésima raíz: se pretende considerar

$$ \prod_{i=2}^{n} i^{1 / \log i} $$

Por supuesto, esto no es necesariamente más fácil de tratar. La cosa es la que es generalmente útil para productos: tomar el logaritmo. Considere la posibilidad de

$$ \log \prod_{\substack{p=2 \\ p \text{ prime}}}^N p$$

Answer 2

La suma de la fórmula en la parte superior de la Respuesta 1 no es bueno necesariamente en términos de porcentaje.

Por ejemplo, si n = 14, la fórmula se obtiene la estimación de la suma a unos 50.6, pero la suma de todos los números primos del 2 al 13, ambos inclusive, en realidad es de 41.